Desigualdade de Hölder

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços L^p. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Desigualdade para somatórios finitos

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

Sejam $a_{n}\,$ e $b_{n}\,$ seqüências se números reais ou complexos Então:

$\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n}\right|\leq \left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$

Desigualdade para séries

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

E ainda, $a_{n}\in \ell ^{p}\,$ e $b_{n}\in \ell ^{q}\,$ (veja espaço lp), vale:

$\left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq \sup _{N}\sum _{n=1}^{N}|a_{n}b_{n}|\leq \sup _{N}\left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$

Desigualdade para integrais

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

Sejam $f:D\to \mathbb {R} \,$ e $g:D\to \mathbb {R} \,$ funções $f\in L^{p}\,$, $g\in L^{q}\,$ e $V\subseteq D\,$, então:

$\left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

Observe que a desigualdade implica $fg\in L^{1}(V)$

Demonstração

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

• ${\tilde {f}}(x)={\frac {f(x)}{\left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}}\,$
• ${\tilde {g}}(x)={\frac {g(x)}{\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}}\,$

Então estimemos pela desigualdade triangular:

$\left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \int _{V}\left|f(x)g(x)\right|dx=\left(\int _{V}|f(x)|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx$

Basta mostrar que:

$\int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx\leq 1$

Agora, usamos a desigualdade de Young:

$|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)|=|{\tilde {f}}(x)|\cdot |{\tilde {g}}(x)|\leq {\frac {1}{p}}|{\tilde {f}}(x)|^{p}+{\frac {1}{q}}|{\tilde {g}}(x)|^{q}$

$\left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}\int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx+{\frac {1}{q}}\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx$

Da definição de ${\tilde {f}}(x)\,$ e ${\tilde {g}}(x)\,$, temos:

$\int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx=\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx=1\,$

$\left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$

E finalmente:

$\left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}$

Espaços L^p

Na linguagem dos espaços l^p, a desigualdade toma a forma:

$\left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{1}}\leq \left\|\{a_{n}\}\right\|_{\ell ^{p}}\left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{p^{*}}}$

Nos espaços L^p, tem a forma:

$\left\|fg\right\|_{L^{1}}\leq \left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|g\right\|_{L^{p^{*}}}$

Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) $p=1\,$ ou $p=\infty \,$.

Ver também

• Desigualdade
• Desigualdade de Young
• espaço lp
• espaço Lp