Em matemática, os espaços , são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo onde ou . Espaços são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

Definições

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  • Uma sequência   é dita pertencer ao espaço   se for p-somável, ou seja:
 .
  • Uma sequência   é dita pertencer ao espaço   se for limitada, ou seja:
 .

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

 
 .

Propriedades dos espaços

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Convergência

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Todas as sequências   pertencentes a  , convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em  , por exemplo, a sequência constante   é limitada mas  , logo  .

Espaços de Banach e Hilbert

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Espaços   são espaços de Banach para qualquer   e o único espaço   que é um espaço de Hilbert é  , que é dotado do produto interno

 .

Separabilidade

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Para  , os espaços   são separáveis, mas   não é separável.

Inclusão dos espaços

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Os espaços   crescem à medida que   cresce, isto é, se  , então  .

Espaços

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O espaço das sequências convergentes é denotado por  , e, como toda sequência convergente é limitada,   é um subespaço linear de   e além disso temos que   é um subespaço fechado de   e portanto um espaço de Banach.


O espaço   é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que   é um subespaço de   e portanto também é um subespaço linear de  . Também é um subespaço fechado e portanto de Banach


  é o subespaço linear de   formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para  , existe   tal que se  .   não é um subespaço fechado com relação a norma  , pois para a sequência   é de Cauchy mas   converge para   que não pertence à  .

Dualidade

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Se  , então o espaço dual topológico de   é isometricamente isomorfo a   onde   é o conjugado de Lebesgue de  , ou seja  . O isomorfismo   definido por

 .

Pela desigualdade de Hölder temos que  , e definido a norma em   por

 .

Temos que  ,e portanto,   é um operador limitado e

 

logo   é linear.

Seja  , então os funcionais pertencentes ao espaço dual   são da forma:

 , para algum   associado a  .

Ver também

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Bibliografia

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  • Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc. 
  • Dieudonné, Jean Alexandre (1983), History of Functional Analysis, ISBN 0-444-86148-3, North-Holland Publishing Company 
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