Distribuição Erlang

A distribuição Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua com uma ampla aplicabilidade, principalmente devido à sua relação com a distribuição exponencial e a distribuição gama. A distribuição Erlang foi desenvolvida por Agner Krarup Erlang para analisar o número de chamadas telefônicas que poderiam ser feitas simultaneamente aos operadores das estações de comutação. Atualmente esta distribuição é utilizada em várias áreas que aplicam processos estocásticos.

Distribuição Erlang
Parâmetros	$k\in \mathbb {N}$ $\lambda >0$
Suporte	$x\in [0,\infty )$
f.d.p.	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
f.d.a.	${\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Média	${\frac {k}{\lambda }}$
Moda	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Variância	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Obliquidade	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtose	${\frac {6}{k}}$
Entropia	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
Função Geradora de Momentos	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ para $t<\lambda$
Função Característica	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

Sua função densidade de probabilidade é dada por

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{para }}x,\lambda \geq 0.$

Uma alternativa usa o parâmetro de escala $\mu ={\frac {1}{\lambda }}$:

$f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{para }}x,\mu \geq 0.$

Sua função distribuição acumulada pode ser expressa por

$F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}$

sendo $\gamma (.,.)$ a função gama incompleta que é dada por

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!$

Outra expressão para a função distribuição acumulada é

$F(x,k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}{n!}}$

Entre as aplicaçações desta distribuição, a distribuição Erlang, mede o tempo entre as chamadas recebidas e pode ser usado em conjunto com a duração prevista de chamadas telefônicas para produzir informações sobre o tráfego medido em Erlang unidades. Pode ser usado para determinar a probabilidade de perda de pacotes ou atrasos em uma rede de computadores que utiliza algum protocolo de internet.

No ponto de vista dos processos estocásticos, a distribuição Erlang é a distribuição da soma de $k$ variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas exponencialmente.