Distribuição gama

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade. 

Gama
Plotagem da função densidade de probabilidade de distribuições gama
Plotagem da função de distribuição acumulada de distribuições gama
Parâmetros	$k>0$ $\theta >0$
Suporte	$x\in (0,\infty )$
f.d.p.	${\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}$
f.d.a.	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Média	$\mathbf {E} [X]=k\theta$ $\mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )$ (veja função digama)
Moda	$(k-1)\theta$ para $k\geq 1$
Variância	$\operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}$ $\operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)$ (veja função trigama)
Obliquidade	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtose	${\frac {6}{k}}$
Entropia	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln[\Gamma (k)]\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}$
Função Geradora de Momentos	$(1-\theta t)^{-k}$ para $t<{\frac {1}{\theta }}$
Função Característica	$(1-\theta it)^{-k}$

Existem três diferentes parametrizações no uso comum:

1. Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro de escala $\theta$.
2. Com um parâmetro de forma $\alpha =k$ e um parâmetro de escala inversa $\beta ={\frac {1}{\theta }}$, chamado parâmetro de taxa.
3. Com um parâmetro de forma $k$ e um parâmetro média $\mu ={\frac {k}{\beta }}$.

Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.

ra a qual $E[X]=k\theta ={\frac {\alpha }{\beta }}$ é fixada e maior que zero, e $E[ln(X)]=\psi (k)+ln(\theta )=\psi (\alpha )-ln(\beta )$ é fixado ($\psi$ é a função digama).

Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que $\theta$ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância $\theta$ µ²= µ²/v

Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.

Parametrização

A parametrização com $k$ e $\theta$ parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com $\alpha$ e $\beta$ é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o $\lambda$ de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson.

Se $k$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de $k$ variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média $\theta$

Caracterização usando $\alpha$ e taxa $\beta$

A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma $\alpha =k$ e o parâmetro de escala inversa $\beta ={\frac {1}{\theta }}$, chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com forma $\alpha$ e taxa $\beta$ é denotada

$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv {\textrm {Gama}}(\alpha ,\beta )$

A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}\alpha ,\beta >0$,

onde ${\Gamma (\alpha )}$ é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos $\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!$

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

$F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}$

onde $\gamma (\alpha ,\beta x)$ é a função gama incompleta inferior.

Se $\alpha$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:

$F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}$

Caracterização usando a forma $k$ e escala $\theta$

Uma variável aleatória $X$ que é distribuída sob gama com parâmetro de forma $k$ e escala $\theta$ é denotada por

$X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv {\textrm {Gama}}(k,\theta )$

Ilustração de uma função densidade de probabilidade para valores de parâmetros $k$ e $x$ com $\theta$ ajustado para 1, 2,3,4,5 e 6.

A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é

$f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}k,\theta >0.$

Aqui $\Gamma (k)$ é a função gama avaliada em $k$.

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

$F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}}$

onde $\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$ é a função gama incompleta inferior.

Também pode ser expressa como segue, se $k$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):

$F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}$

Aplicações

Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.