Distribuição binomial

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de tentativas tais que:

  1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de ensaio de Bernoulli), e;
  2. Cada tentativa é independente das demais, e;
  3. A probabilidade de sucesso a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
  4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos nas tentativas.
Distribuição Binomial
Densidade de probabilidade
A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Função de distribuição acumulada
A cor amarela representa a função F de distribuição acumulada da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Parâmetros número de ensaios

probabilidade de sucesso em cada ensaio

Suporte
f.d.p.
Média
Mediana ou
Moda ou
Variância
Obliquidade
Curtose
Entropia
Função Geradora de Momentos
Função Característica

Função de probabilidade

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Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

 

para   e onde   é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

 

Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:

A combinação   contém as ordenações possíveis;
O número de sucesso é  , e;
A probabilidade de fracassos é  .

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

 

Exemplos

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Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

 
 
 

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

 
 
 
 
 

Assim, a resposta é:

 
Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos,  , é dada por:

 

 

Valor esperado e variância

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Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

 

e a variância é

 

Ligações externas

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