Divisor

inteiro que divide exatamente outro inteiro

Divisores são números inteiros e racionais,[1] sendo o dito divisor y diferente de 0 (y0)e o divisor z igualmente (z0)[2] com os quais se pode efetuar uma divisão de números maiores (igualmente inteiros e racionais), tendo como resto e quociente uma quantidade exata.

Exemplo:[2]


Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os números primos, que só tem como divisores 1 e o dito primo.[1]

Sobre os divisores editar

  • Existem infinitos números primos (ver Teoria dos números, seção: Propriedades dos números primos; Teorema de Euclides) e infinitos divisores de números.
  • Para cada número inteiro e racional há um conjunto de divisores que lhe é próprio.
  • Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto matemático.

Como exemplo, pode-se citar o número 22, que pertence ao conjunto de múltiplos de 2 e dos múltiplos de 11 igualmente, ou seja, os divisores de 22 são 2 e 11, além de 1 e 22.

No conjunto dos múltiplos de 11:[2]

 

No conjunto dos múltiplos de 2:

 

  • Quanto maior o divisor, menor será o resto. É similar a uma regra de três inversamente proporcional, pois, quanto menor o divisor de número qualquer inteiro e racional, maior será o resto.
  • Somente há um número que dividido por qualquer número inteiro e racional tem como resto a mesma quantidade: 0. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em 0;

 

  • Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se Fatoração.[3]
  • Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os números primos (ver também número defectivo). Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de 3, 4, 5 ou 7 tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um número defectivo ou número deficiente que se encontra nesse caso.
  • Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um quadrado perfeito do número x

Exemplo:

 

Portanto:

 


Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d   0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que   (note que isto é o mesmo que escrever  )

Exemplo:
 
(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a  , que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:
 
(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja  . Se   (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então  

Note que há duas situações possíveis para o resto r:
1) r = 0
Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão   será igual à expressão  , que é o mesmo que escrever simplesmente  .
Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r   0
Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão   não será igual à expressão  .
Nota: podemos escrever  . O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja:  . Assim,  . Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:
1) A divisão   tem quociente 5 e resto 0. Assim:
O numerador da fração é n = 15;
O denominador da fração é d = 3;
O quociente da divisão é q = 5;
O resto da divisão é r = 0.
Como  , escrevemos  , ou simplesmente  .
Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).


2) A divisão   tem quociente 3 e resto 1. Assim:
O numerador da fração é n = 7;
O denominador da fração é d = 2;
O quociente da divisão é q = 3;
O resto da divisão é r = 1.
Como  , escrevemos  
Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r   0).
Porém, lembre-se de que  . Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo:   e  . Como  , ambas as expressões   e   valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever  . Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).

Referências

  1. a b Dicionário Aurélio
  2. a b c d Ênio Silveira e Cláudio Marques. Matemática Compreensão e Prática
  3. Matemática Didática
  4. Mundo Educação: Múltiplos e Divisores

Ver também editar