Equação de Binet
A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.
A equação
editarA forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa em função do ângulo . Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro em função de . Defina o momento angular específico como , onde é o momento angular e a massa. A equação de Binet[1] é
A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é
A conservação do momento angular requer que
As derivadas de em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de em relação ao ângulo:
Combinando as equações acima, obtemos
Aplicações
editarO problema de Kepler
editarO tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial
Se o ângulo é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é
A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde é o semi-latus rectum e é a excentricidade da órbita.
A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é[3]
- ,
onde é a velocidade da luz e é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos
Onde é a carga elétrica e a permissividade do vácuo.
O problema de Kepler inverso
editarConsidere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?
Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos
Assim, a lei de forças é
que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital aos valores físicos ou , obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.
Espirais hiperbólicas
editarUma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma
As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação
A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se , a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando . Se , a solução é a espiral hiperbólica. Se , a solução é a espiral logarítmica.
Movimento circular fora de eixo
editarEmbora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é
Diferenciando duas vezes e utilizando a identidade trigonométrica fundamental, obtemos:
Assim, a lei de forças é
Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a , é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver
- ,
que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.
Ver também
editarReferências
editar- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Binet equation», especificamente desta versão.
Referências
- ↑ «Fyta12:1 – Motion in a Central Force Field» (PDF). Consultado em 5 de outubro de 2010
- ↑ «Mechanics 1, Lecture 22: Motion in a Central Force Field, II» (PDF). Consultado em 5 de outubro de 2010
- ↑ http://www.wbabin.net/science/kren3.pdf