Equação de Euler-Cauchy

 Nota: Para outros significados, veja equação de Euler.

Em matemática, uma equação de Euler-Cauchy, ou equação de Cauchy-Euler, ou simplesmente a equação de Euler é uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes variáveis. Às vezes é chamada de equação equidimensional. Devido à sua estrutura equidimensional particularmente simples, a equação diferencial pode ser resolvida explicitamente.

A equação editar

A equação de Euler-Cauchy pode ser expressa como

 

A substituição   (isto é,  ; para  , podemos substituir   por  , que estende o domínio da solução para  ) pode ser usada para reduzir esta equação a uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Alternativamente, a solução experimental   pode ser usado para resolver diretamente as soluções básicas.[1]

Uma das características desse tipo de equação é que o grau   dos coeficientes   corresponde a ordem   da diferencial  .[2]

Equação de Euler-Cauchy de segunda ordem editar

Realizaremos uma análise detalhada da forma da solução geral da equação de segunda ordem homogênea

 

A solução de equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea   pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a   particular.

Nota: O coeficiente   de   é zero em  . Portanto concentraremos nossa atenção em encontrar as soluções gerais definidas no intervalo  . Soluções no intervalo   podem ser obtidas fazendo a substituição   na equação diferencial.

Solução da equação homogênea de segunda ordem editar

Vamos tentar uma solução da forma  , onde   será determinado. Analogamente com o que acontece quando substituímos   equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos  , cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em   vezes  , como

 

Por exemplo, quando substituímos  , a equação de segunda ordem se torna

 

Logo   é uma solução da equação diferencial sempre que   é solução da equação auxiliar

  ou    

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes aparecem como um par conjugado.

Caso 1: raízes reais e distintas editar

Sejam   e   as raízes reais e distintas de   tal que  . Então   e   formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto a solução geral é dada por

 

Caso 2: raízes reais e iguais editar

Se as raízes de   são iguais ( ) então conhecemos apenas uma solução,  , da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução   linearmente independente de  . Procuramos   da forma  . Substituindo em  , temos:

 

Agrupando os termos, obtemos:

 

Mas como o argumento de   é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:

 

Simplificando:

   

Note que a equação   se reescreve como  . Portanto, se ela tem raiz dupla é porque  . Neste caso, a raiz dupla é

 

Portanto,   Substituindo em  , obtemos:

 

que é redutível à primeira ordem. Considerando   obtemos

 

Separando as variáveis, temos

 

Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo  , encontramos  , de onde segue

 

Integrando mais uma vez, segue que   e, portanto

 

Conclusão: se a equação algébrica   tem raiz real dupla  , duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são:[3]

  e  .

Caso 3: raízes complexas conjugadas editar

Se as raízes de   são o par conjugado  , onde   e     são reais, então uma solução é

 

Mas quando as raízes da equação auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, queremos escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tal, usamos a identidade a seguir:

 

que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que

 

Similarmente,

 

Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

  e   respectivamente.

A partir do fato de que   é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para   e   que

  e  

ou

  e  

também são soluções. Já que   no intervalo  , concluímos que

  e  

constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial. Portanto a solução geral é

 

Ver também editar

Referências

  1. Kreyszig, Erwin (10 de maio de 2006). Advanced Engineering Mathematics. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-470-08484-7 
  2. Zill, Dennis G. (2005). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Belmont: BROOKS/COLE. pp. 162–165. ISBN 978-0-495-10824-5 
  3. Brietzke, Eduardo. «Seção 21 – Equação de Cauchy–Euler» (PDF). Consultado em 22 de março de 2016