Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

ExemplosEditar

  • O conjuntos dos números reais   com a métrica usual   é completo.
  • Qualquer subconjunto fechado de   é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completosEditar

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E,  , com as seguintes propriedades:

  • A inclusão i: E →  , i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
  • E é denso em  .
  •   é um espaço completo.

Pode-se mostrar que   é único, no seguinte sentido:

  • Se   são espaços métricos completos,   são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então   são isométricos.

Esboço da construçãoEditar

A construção de   é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

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