Espaço de Bochner

Em matemática, os espaços de Bochner são uma generalização do conceito de espaços para funções cujos valores estão em um espaço de Banach que não é necessariamente o espaço ou de números reais ou complexos.[1] O espaço consiste em (classes de equivalência de) todas as funções mensuráveis de Bochner com valores no espaço Banach cuja norma encontra-se no padrão espaço . Portanto, se é o conjunto de números complexos, é o Lebesgue padrão espaço .[2]

Quase todos os resultados padrão em espaços também se mantêm nos espaços Bochner; em particular, os espaços Bochne são espaços de Banach para Os espaços de Bochner são nomeados em homenagem ao matemático Salomon Bochner.[3][4]

Definição

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Dado um espaço de medida   um espaço Banach   e   o espaço de Bochner   é definido como o quociente de Kolmogorov (por igualdade em quase todos os lugares) do espaço de todas as funções mensuráveis de Bochner   de modo que a norma correspondente é finita:   

Em outras palavras, como é comum no estudo de espaços  ,   é um espaço de classes de equivalência de funções, onde duas funções são definidas para serem equivalentes se forem iguais em todos os lugares, exceto em um  -medir subconjunto zero de   Como também é usual no estudo de tais espaços, é comum abusar da notação e falar de uma "função" em   em vez de uma classe de equivalência (o que seria mais tecnicamente correto).

Referências

  1. Evans, Lawrence (2 de março de 2010). «Four important linear partial differential equations». Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 17–90. ISBN 978-0-8218-4974-3. Consultado em 4 de agosto de 2021 
  2. Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz, eds. «Bochner spaces». Cham: Springer International Publishing. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (em inglês): 1–66. ISBN 978-3-319-48520-1. doi:10.1007/978-3-319-48520-1_1. Consultado em 4 de agosto de 2021 
  3. Chiţescu, Ion; Sfetcu, Răzvan-Cornel; Cojocaru, Oana (2017). «Köthe-Bochner spaces that are Hilbert spaces». Carpathian Journal of Mathematics (2): 161–168. ISSN 1584-2851. Consultado em 4 de agosto de 2021 
  4. «fa.functional analysis - On the Bochner spaces $L^\infty(a,b;L^p(c,d))$ and $L^p(c,d;L^\infty(a,b))$, or: Interchange of supremum and integral». MathOverflow. Consultado em 4 de agosto de 2021 
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