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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Parábola (desambiguação).
Uma parábola

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz).[1][2] Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

Índice

Definições e visão geralEditar

 
Parábola de foco   e diretriz  .

Equações da geometria analíticaEditar

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado   (foco) e uma reta dada   (diretriz) que não contém  .[3] Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco   e reta diretriz   tem equação[4]

 

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

 

é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco   e diretriz   De fato, por definição,   pertence à parábola se, e somente se:

 

onde,   denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco   e diretriz   temos:

 

que é equivalente à equação  . O procedimento é análogo para uma parábola de foco   e diretriz   mostrando que, neste caso,  .

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco   e é perpendicular a sua reta diretriz   O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima   corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

 
Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V  foco   e diretriz   por:

 

Analogamente, uma parábola com vértice V  foco   e diretriz   é descrita pela equação:

 

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:

 

com    . O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas[carece de fontes?]Editar

 
Parábola como seção cônica.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.

Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.

Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Dedução das equaçõesEditar

 
Exemplo de uma parábola com eixo de simetria vertical.

Em coordenadas cartesianaEditar

Eixo vertical de simetriaEditar

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice    e distância   entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.[2]

Como, por definição, um ponto   na parábola dista do foco   tanto quanto da reta diretriz   podemos escrever:

 

onde,   denota a distância euclidiana e   denota a função valor absoluto. Lembrando que   para qualquer   real, temos:

 
 
 

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

 

onde:

   

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando   por exemplo   e substituindo na equação padrão, obtemos   Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

 

Observamos que a parametrização de   i.e.   é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

Eixo horizontal de simetriaEditar

 
Exemplo de uma parábola com eixo de simetria horizontal.

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice   e distância   entre o vértice e o foco tem equação padrão:

 

Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

 

tomando:

   

Tomando  ,  , e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

 

Em coordenadas polaresEditar

 
Esboço da parábola   com  .

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz   é dada pela equação[5]:

 

De fato, tomando   e   e substituindo na equação polar, obtemos:

 

que é a equação padrão da parábola de vértice   e reta diretriz  .

Forma em coordenadas gaussianasEditar

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:[carece de fontes?]

 

e possui a normal  .

Equação QuadráticaEditar

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:

 

com   e  . A presença do termo cruzado   (i.e.,  ) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos  .

 
Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui,  ,  , a rotação é dada por  e   e a translação é dada por   e  .

Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial[6]:

 

onde   é o vetor real bidimensional das incógnitas,

 

é uma matriz real simétrica de autovalores reais   e  , sendo exatamente um deles nulo,

 

é o vetor real bidimensional, e   é um escalar real.

RotaçãoEditar

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz   é ortogonalmente diagonalizável,[6] i.e.:

 

onde   é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores  ,   associados aos autovalores   e  , respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

 ,

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis   como:

 

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo  , dado pelo autovetor  , ou ao eixo  , dado pelo autovetor  .

TranslaçãoEditar

Uma parábola de vértice   pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

 

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis  .

Propriedade RefletoraEditar

 
Propriedade refletora de uma parábola.

Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.[7]

De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola   ilustrada na figura ao lado. Nela,   denota seu foco,   seu vértice e   o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto   e com a diretriz da parábola no ponto  . Observamos que o segmento   tem interseção com o eixo das abscissas no ponto  , i.e. no ponto médio entre os pontos   e  . Por essa razão e mais o fato de que   e   são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que   e   são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos   e   têm inclinação   e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto  , pois   neste ponto. Assim, se   é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto   (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos   e  , vemos que a onda refletida alcança o ponto  , i.e. o foco da parábola.

Referências

  1. Affonso Rocha Giongo (1974). Curso de Desenho Geométrico. [S.l.]: Nobel. Capítulo: Retificação da circunferência 78 p. 
  2. a b «Sítio de internet do curso Cálculo e Geometria Analítica da UFRGS - Cônicas». Instituto de Matemática da UFRGS. Consultado em 24 de outubro de 2014 
  3. «Parabola - from Wolfram MathWorld». Wolfram Research, Inc. Consultado em 24 de outubro de 2014 
  4. Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de (1987). Geometria Analítica. Um Tratamento Vetorial 2 ed. São Paulo: McGrall-Hill. p. 266. ISBN 0074500465 
  5. Reginaldo J. Santos (2001). «Seções Cônicas» (PDF). Consultado em 25 de outubro de 2014 
  6. a b KOLMAN, BERNARD (2013). Álgebra Linear com Aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  7. Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 1. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818107 

BibliografiaEditar

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar