Forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan (português brasileiro) ou forma canónica de Jordan (português europeu) é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

DefiniçõesEditar

Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo   ou  .

Caso RealEditar

Se  , escrevamos o polinômio característico de T na forma

 ,

com   se  .

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r   dada por [1]

 ,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

 

onde N é uma matriz nilpotente, pois  .

Se   são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se   como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de   dada por

 .

Caso ComplexoEditar

Se  , escrevamos o polinômio característico de T na forma

 ,

onde   é uma raiz complexa de pT, com   e   se  .

Se   é uma raiz complexa de  , define-se, analogamente à matriz  ,

 ,

onde

  e  

Teorema (de Jordan)Editar

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se   e

 ,

com   se  ,  , então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

 ,

onde   são da forma   e  .

Se   e

 ,

onde   é uma raiz complexa de pT com   e   se   ( ), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

 

onde   são da forma   e   e   são da forma   e  .

CorolárioEditar

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma   (caso complexo) ou   (caso real).

ObservaçõesEditar

Blocos de Jordan com a mesma raizEditar

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

 ,

mas é possivel que   quando  

Por exemplo[2], a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

 ,

em que  ,   e  .

UnicidadeEditar

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Referências

  1. Triangulação - Forma Canónica de Jordan, site do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 

BibliografiaEditar

  • (em inglês) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
  • (em inglês) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
  • (em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9