Matrizes semelhantes

Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas $A$ e $B$ são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível $M$ tal que:

$A=M^{-1}BM\,$

Definição

Uma matriz $A$ é dita ser semelhante à matriz $B$ se, e somente se, existe uma matriz $M$ invertível tal que:

$A=M^{-1}BM\,$.

Observamos que a definição exige que $A$ e $B$ sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.

Relação de equivalência

O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:

1. (Reflexividade) Toda matriz $A$ é semelhante a si mesma;
2. (Simetria)$A$ é semelhante a $B$ implica $B$ semelhante a $A$;
3. (Transitividade) $A$ é semelhante a $B$ e $B$ é semelhante a $C$ implica $A$ semelhante a $C$;

Demonstração

1. Como $A=I^{-1}AI$, temos que $A$ é semelhante a $A$.

2. Se $A=M^{-1}BM$, então $B=N^{-1}AN$ com $N=M^{-1}$. Ou seja, $A$ é semelhante a $B$ implica $B$ semelhante a $A$.

3. Se $A=M^{-1}BM$ e $B=N^{-1}CN$, então $A=P^{-1}CP$ com $P=NM$. Isto é, $A$ é semelhante a $B$ e $B$ é semelhante a $C$ implica $A$ semelhante a $C$.

Propriedades

Sejam A e B matrizes semelhantes, então:

1. $\det(A)=\det(B)$;
2. $A$ é invertível se e somente se $B$ também o for;
3. $A$ e $B$ possuem o mesmo polinômio característico;
4. $A$ e $B$ tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;
5. $A$ e $B$ têm o mesmo traço;
6. $A^{k}$ e $B^{k}$ são semelhantes para todo $k\in \mathbb {N}$.
7. As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.

Demonstração

Propriedade 1.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $\det(A)=\det(B)$. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Pelas propriedades do determinante segue que:

${\begin{aligned}\det(A)&=\det(M^{-1}BM)\\&=\det(M^{-1})\det(B)det(M)\\&={\frac {1}{\det(M)}}\det(B)\det(M)\\&=\det(B)\end{aligned}}$

Propriedade 2.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A$ é invertível se, e somente se, $B$ também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$, ou equivalentemente, $B=MAM^{-1}$. Suponhamos que $A$ seja invertível. Então, afirmamos que $(MAM^{-1})^{-1}=MA^{-1}M^{-1}$ é matriz inversa de $B$. De fato:

$B(MA^{-1}M^{-1})=MA(M^{-1}M)A^{-1}M^{-1}=M(AA^{-1})M^{-1}=MM^{-1}=I$

e

$(MA^{-1}M^{-1})B=MA^{-1}(M^{-1}M)AM^{-1}=M(A^{-1}A)M^{-1}=MM^{-1}=I$.

Isto mostra que se $A$ é invertível, então $B$ é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A$ e $B$ possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Por definição, o polinômio característico de $B$ é dado por $p_{B}(\lambda )=\det(B-\lambda I)$. Daí, segue que:

${\begin{aligned}p_{B}(\lambda )&=\det(M^{-1})\det(B-\lambda I)\det(M)\\&=\det[M^{-1}(B-\lambda I)M]\\&=\det(M^{-1}BM-\lambda M^{-1}M)\\&=\det(A-\lambda I)\\&=p_{A}(\lambda )\end{aligned}}$

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4.

Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5.

Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz $n\times n$ é o coeficiente do termo de grau $n-1$ do seu polinômio característico.

Propriedade 6.

Mostraremos que se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes, então $A^{k}$ e $B^{k}$ também são para todo número $k$ natural. Com efeito, existe uma matriz invertível $M$ tal que $A=M^{-1}BM$. Por indução em $k$ vemos que $(M^{-1}BM)^{k}=M^{-1}B^{k}M$. Ou seja, $A^{k}=M^{-1}B^{k}M$, como queríamos demonstrar.

Propriedade 7.

Seja $T:V\to V$ um operador linear sobre o espaço vetorial $V$ de dimensão finita com bases $B_{1}$ e $B_{2}$. Sejam, então, $A$ e $B$ as matrizes de $T$ nas respectivas bases $B_{1}$ e $B_{2}$, i.e.:

$[T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=A[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V$

e

$[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=B[\mathbf {x} ]_{B_{2}},\quad \forall \mathbf {x} \in V$

onde, $[\mathbf {x} ]_{B_{1}}$ denota a representação do vetor $\mathbf {x}$ na base $B_{1}$ com notação análoga para $[\mathbf {x} ]_{B_{2}}$. Seja, agora, $P$ a matriz de mudança da base $B_{1}$ para a base $B_{2}$, i.e.:

$[\mathbf {x} ]_{B_{2}}=P[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V$.

Logo, temos:

$[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow P^{-1}[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow A[\mathbf {x} ]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}$.

Como a última igualdade é válida para todo $\mathbf {x} \in V$, concluímos que $A$ e $B$ são matrizes semelhantes.

Ver também

• Matriz congruente
• Matriz diagonalizável