Função de Bessel

A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:

$x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\ p^{2})y=0,$

para um número real $p$ . Ela é denominada equação de Bessel de índice $p$.

Definição

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes. Entretanto, a depender das circunstâncias, múltiplas formulações dessas soluções podem ser convenientes. As diferentes variações com nomenclatura são resumidas na tabela abaixo.

Type	First kind	Second kind
Bessel functions	Jα	Yα
Funções de Bessel modificadas	Iα	Kα
Funções de Hankel	H(1) α = Jα + iYα	H(2) α = Jα − iYα
Funções de Bessel esféricas	jn	yn
Funções de Hankel esféricas	h(1) n = jn + iyn	h(2) n = jn − iyn

As funções de Bessel de segunda espécie e as funções de Bessel esféricas de segunda espécie são por vezes denotadas por N_n e n_n, respectivamente, ao invés de Y_n e y_n.

Dedução das funções de Bessel principais

Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências:

O ponto $x_{0}=0$ é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução: 

$y=(x-x_{0})^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ 

Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo $x_{0}$por zero: 

$y=x^{r}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},a_{0}\neq 0$ 

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r},a_{0}\neq 0$ 

Substituindo a solução na equação, temos: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}-\sum _{n=0}^{\infty }p^{2}a_{n}x^{n+r}=0$ 

Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }((n+r)^{2}-p^{2})a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r+2}=0$ 

No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que $n=k-2$ e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k+r}=0$ 

Podemos agora substituir k por n no segundo somatório: 

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+r+p)(n+r+p)a_{n}x^{n+r}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n+r}=0$ 

Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2:$(n+r)(r-p)a_{0}x^{r}+(r+p+1)(r-p+1)a_{1}x^{r+1}+\sum _{n=2}^{\infty }((n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2})x^{n+r}=0$Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que $a_{0}\neq 0$ : 

$(r+p)(r-p)=0$  

$(r+p+1)(r-p+1)a_{1}=0$ 

$(n+r+p)(n+r-p)a_{n}+a_{n-2}=0$ 

Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes: 

$r_{1}=p$ 

$r_{2}=-p$ 

Usando a primeira solução, ou seja $r_{1}=p$, e substituindo na segunda equação: 

$(2p+1)a_{1}=0$ 

Desta forma obtemos: 

$a_{1}=0$ 

Substituindo $r_{1}=p$ na terceira equação: 

$(n+2p)na_{n}+a_{n-2}=0$ 

Esta igualdade é valida para n=2,3,4,... 

Isolando o termo $a_{n}$ na equação, obtemos: 

$a_{n}=-{\frac {a_{n-2}}{n(n+2p)}}$ 

Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos $a_{2}$ ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2: 

$a_{2}=-{\frac {a_{0}}{2(2+2p)}}$  

Para descobrir $a_{4}$ fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4: 

$a_{4}=-{\frac {a_{2}}{4(4+2p)}}$ 

Colocamos o valor de $a_{2}$ já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima: 

$a_{4}={\frac {a_{0}}{2.4(2+2p)(4+2p)}}$ 

Em geral, 

$a_{2n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{n!(1+p)(2+p)...(n+p).2^{2n}}}$ 

De maneira geral ao valor de $a_{0}$ é atribuído: 

$a_{0}={\frac {1}{2^{p}\Gamma (1+p)}}$ 

Utilizando a identidade: 

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ 

Temos que $a_{2n}$ que pode ser escrito da seguimte forma: 

$a_{2n}=-{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)2^{2n+p}}}$ 

A primeira solução da equação de Bessel é: 

$y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$ 

A função obtida é denominada função de Bessel de 1ª espécie de índice p e nos referimos a ela como $J_{p}(x)$: 

Gráfico das funções de Bessel de primeira espécie para α= 0, 1, 2

Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2

$J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2n+p}$ 

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:

$J_{m}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+m)!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+m}.$

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para $\alpha$ inteiro, tem a forma:

$Y_{m}(x)={\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}.$

Casos particulares

As funções de Bessel para $m=\pm {\frac {1}{2}}$ podem ser escritas em termos de funções elementares:

$J_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}sen(x)$ e $J_{-{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}cos(x)$

Transformada de Laplace

Seja a Equação de Bessel $J_{0}(at){=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {at}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}$ , então temos que sua transformada de Laplace é dada por:${\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {{\Bigl (}{\frac {a}{2}}{\Bigr )}^{2n}}{(n!)^{2}}}\cdot {\frac {({2n}!)}{s^{2n+1}}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl [}1-{\frac {1}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{4}+...{\Bigr ]}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}1+{\Bigl (}{\frac {a}{s}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{s}}\cdot {\Bigl (}{\frac {s^{2}+a^{2}}{s^{2}}}{\Bigr )}^{\frac {-1}{2}}{=}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$

Propriedades

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

1. Para $p$ inteiro: $J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)$
2. Para $p$ não inteiro: $J_{p}(x)eJ_{-p}(x)$ são linearmente independentes
3. ${\frac {d}{dz}}\{J_{p}(z)\}=J_{p-1}(z)-{\frac {p}{z}}J_{p}(z)$
4. ${\frac {d}{dz}}\{z^{p}J_{p}(z)\}=z^{p}J_{p-1}(z)$

Aplicações

• Solução das equações de Laplace e Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas;
  • Ondas eletromagnéticas;
  • Análise de sinais modulados em frequência (FM);
  • Condução de calor;
  • Vibração;
  • Difusão.
  • Processamento de sinais (filtro Bessel).
  • Soluções para a equação de Schrödinger radial (em coordenadas esféricas e cilíndricas) de uma partícula livre.
  • Solução para os padrões de radiação acústica.
  • atrito em função da frequência em condutas circulares.
  • A dinâmica de corpos flutuantes.