Função de Bessel

A Função de Bessel, foi definida pela primeira vez por Daniel Bernoulli e generalizada por Friedrich Bessel. Ela é a solução da equação diferencial:

para um número real . Ela é denominada equação de Bessel de índice .

DefiniçãoEditar

Como a função de Bessel é obtida a partir da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, esta deve possuir duas soluções linearmente independentes[1]. Neste caso, denominamos funções de Bessel de primeira espécie e segunda espécie, sendo a segunda também conhecida como função de Bessel de Neumann. Utilizando o método de resolução de equações diferencias por séries de potências: 

O ponto   é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Desta forma podemos aplicar o método de Frobenius para este ponto singular regular. O método consiste em procurar a seguinte solução: 

  

Aplicada no ponto singular regular. Como zero é um ponto singular regular da equação de Bessel podemos aplicar a equação acima substituindo  por zero: 

  

  

Substituindo a solução na equação, temos: 

  

Podemos juntar o 1º, 2º e 4º somatório: 

  

No segundo somatório substituímos n por um número k qualquer de maneira que   e fatorando os termos elevados ao quadrados do primeiro somatório: 

  

Podemos agora substituir k por n no segundo somatório: 

  

Separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, o primeiro somatório agora começa a partir de n=2 e podemos agrupar os dois somatórios em somente um somatório que começa em n=2: Como temos que toda esta equação deve ser zero e como definimos inicialmente que   : 

   

  

  

Resolvendo a primeira equação das três obtemos duas raízes: 

  

  

Usando a primeira solução, ou seja  , e substituindo na segunda equação: 

  

Desta forma obtemos: 

  

Substituindo   na terceira equação: 

  

Esta igualdade é valida para n=2,3,4,... 

Isolando o termo   na equação, obtemos: 

  

Desta forma sabemos que os termos a de índices ímpares são zero enquanto que termos de índice par seguem a regra de recorrência acima indicada. Para descobrirmos   ,por exemplo, só necessitamos trocar todos os números genéricos n na fórmula de recorrência por 2: 

   

Para descobrir   fazemos o mesmo procedimento descrito anteriormente mas para n=4: 

  

Colocamos o valor de   já foi determinada substituímos seu valor na fórmula acima: 

  

Em geral, 

  

De maneira geral ao valor de   é atribuído: 

  

Utilizando a identidade: 

  

Temos que   que pode ser escrito da seguimte forma: 

  

A primeira solução da equação de Bessel é: 

  

A função obtida é denominada função de Bessel de 1ª espécie de índice p e nos referimos a ela como  

 
Gráfico das funções de Bessel de primeira espécie para α= 0, 1, 2[2]
 
Gráfico das funções de Bessel de segunda espécie para α= 0, 1, 2[3]

  

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada para p=m=0,1,2,3,...:

 

A função de Bessel de segunda espécie pode ser obtida através do método de D’Alembert, e, para   inteiro, tem a forma:

 

Casos particularesEditar

As funções de Bessel para   podem ser escritas em termos de funções elementares:[4]

  e  

Transformada de LaplaceEditar

Seja a Equação de Bessel   , então temos que sua transformada de Laplace é dada por[5]: 

PropriedadesEditar

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

  1. Para   inteiro:  
  2. Para   não inteiro:   são linearmente independentes
  3.  
  4.  

AplicaçõesEditar

ReferênciasEditar

  1. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de (1997). Equações Diferenciais Aplicadas. [S.l.: s.n.]  line feed character character in |título= at position 22 (ajuda)
  2. «Confira estes exemplos e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  3. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  4. BRAUN, Martin (1975). Differential Equations and Their Applications. [S.l.: s.n.] 
  5. «Transformada de Laplace». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 30 de julho de 2018. Consultado em 30 de agosto de 2018 
  6. «Bessel function» 
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