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Equação de Schrödinger

equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de uma partícula se altera em função do tempo

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.[1]

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Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores[3]:Capítulo 3 afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.[4]:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

EquaçãoEditar

Equação dependente do tempoEditar

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante   por  . A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:[5]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral)

 

Em que   é a unidade imaginária,   é a constante de Planck dividida por  , e o Hamiltoniano   é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempoEditar

Equação unidimensionalEditar

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:[6]

 ,

em que   é a função de onda independente do tempo em função da coordenada  ;   é a constante de Planck   dividida por  ;   é a massa da partícula;   é a função energia potencial e   é a energia do sistema.

Equação multidimensionalEditar

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:[7]

 

em que   é o operador laplaciano em   dimensões aplicado à função  .

Relação com outros princípiosEditar

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica:  

Equação do Oscilador harmônico:  

Relação de De Broglie:  

Onde   é a função de onda,   é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que  , que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

 

Rearranjando a equação de energia, temos que  , substituindo   na equação anterior:

  , definindo  , temos:

 

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

 , em que   é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígidaEditar

 Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quânticoEditar

 Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:[8]

 

Lembrando a relação  , também pode se escrever:

 

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

 

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

 
 

em que Hn são os polinômios de Hermite.

 

E os níveis de energia correspondentes são:

 

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

Átomo de HidrogênioEditar

Ver tambémEditar

Referências

  1. Schrödinger, E. (1926). «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» (PDF). Physical Review (em inglês). 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049 
  2. Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (em inglês). Upper Saddle River, Nova Jérsei: Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 
  3. Ballentine, Leslie (1998). Quantum Mechanics: A Modern Development (em inglês). Nova Jérsei: World Scientific Publishing Co. ISBN 9810241054 
  4. Laloe, Franck (2012). Do We Really Understand Quantum Mechanics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02501-1 
  5. Fleming, Henrique. «A energia e a equação de Schrödinger». e-física 
  6. Martins, Jorge Sá. «Equação de Schrödinger». Youtube. 21 de jun de 2011 
  7. Martins, Jorge Sá. «A Equação de Schrödinger em 2 e 3 Dimensões». Youtube. 6 de set de 2011 
  8. Martins, Jorge Sá. «Oscilador Harmônico Quântico». Youtube. 19 de jul de 2011 
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