Função meromorfa

Em análise complexa, uma função complexa é dita meromorfa em uma região se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.[1]

De forma mais precisa, se for um aberto conexo não vazio de , diz-se que uma função definida num subconjunto de com valores em é meromorfa se:

  • o domínio de é da forma  \ , onde é uma parte fechada e discreta de ;
  • é holomorfa;
  • tem um polo em cada  ∈ .

ExemplosEditar

  • Qualquer função holomorfa é meromorfa.
  • A função   de   em   definida por   é uma função meromorfa de   em  .
  • A função   de   em   definida por   não é uma função meromorfa de   em  , pois   não é um conjunto discreto (pois   é um ponto de acumulação). Mas   é uma função meromorfa de   em   (pois agora o conjunto dos polos de   é discreto).
  • A função   de   em   definida por   não é uma função meromorfa de   em  , pois não tem um polo em  .

PropriedadesEditar

Seja   um aberto conexo não vazio de   e sejam   e   duas funções meromorfas de   em  . A função   tem por domínio um conjunto da forma   \   e a função   tem por domínio um conjunto da forma  , sendo   e   conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir   em   da maneira usual:  . Para cada  , é possível que exista o limite

 ;

se for esse o caso, define-se   como sendo esse limite. Definindo   desse modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Pode-se definir analogamente as funções  ,   e   (esta última caso   não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de   em   passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode ser expressa como o quociente de duas funções holomorfas.

Referências

  1. Ahlfors 1979, p. 128.

BibliografiaEditar