Função meromorfa

Em análise complexa, uma função complexa é dita meromorfa em uma região se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.[1]

De forma mais precisa, se for um aberto conexo não vazio de , diz-se que uma função definida num subconjunto de com valores em é meromorfa se:

  • o domínio de é da forma  \ , onde é uma parte fechada e discreta de ;
  • é holomorfa;
  • tem um pólo em cada  ∈ .

ExemplosEditar

  • Qualquer função holomorfa é meromorfa.
  • A função   de   \   em   definida por   é uma função meromorfa de   em  .
  • A função   de   \  ∪   ∈ Z  em   definida por  sen (π  não é uma função meromorfa de   em  , pois  ∪   ∈ Z  não é um conjunto discreto. Mas   é uma função holomorfa de   \   em  .
  • A função   de   \   em   definida por   não é uma função meromorfa de   em  , pois não tem um pólo em 0.

PropriedadesEditar

Seja   um aberto conexo não vazio de   e sejam   e   duas funções meromorfas de   em  . A função   tem por domínio um conjunto da forma   \   e a função   tem por domínio um conjunto da forma   \  , sendo   e   conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir   em   \   ∪  . da maneira usual:  . Para cada   ∈   ∪  , é possível que exisa o limite

 .

Se for esse o caso, define-se   como sendo aquele limite. Se se definir   deste modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Podem-se definir analogamente as funções  ,   e   (esta última caso   não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de   em   passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode-se exprimir como o quociente de duas funções holomorfas.

Referências

  1. Ahlfors 1979, p. 128.

BibliografiaEditar