Homologia singular

uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos, e a cada aplicação contínua entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos , e a cada aplicação contínua , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos .

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em e os homomorfismos de grupos graduados em . É conveniente também, dado um espaço topológico e um subespaço , definir a homologia singular relativa .

Definições associadasEditar

Seja   um espaço topológico,   o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

 

Note que,  , a base canônica do   também é o conjunto dos pontos extremais do convexo  .

Sejam também, para  ,

 ,

a aplicação linear que leva   em  , para  , e   em  , para  .


  é o chamado i-ésimo operador face de  .

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre   como


  dada por  .

Construção do complexo singularEditar

Definimos um p-simplexo singular de   como uma aplicação contínua

 .

Definimos para   o p-ésimo grupo singular de  ,  , como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de  . Note que podemos definir também   agindo sobre  . Podemos escrever um elemento qualquer de   como  , onde os  's são p-simplexos singulares de  , e os  's são inteiros não-nulos. Definimos   por  .

Portanto,   está bem definida.

Seja  . Chamamos de   de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por  . De forma análoga, diremos que   é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por  . É fácil mostrar que  , e que portanto,   define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico   Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de   é grupo  .