Identidades de Green

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado

Seja $U\,$ um conjunto aberto limitado de $\mathbb {R} ^{n}$ com fronteira $\partial U\in C^{1}\,$. Se $u,v\,\in C^{2}({\overline {U}})\,$, então:

1. $\int _{U}\Delta udx=\int _{\partial U}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}dS\,$
2. $\int _{U}Du\cdot Dvdx=-\int _{U}u\Delta vdx+\int _{\partial U}{\frac {\partial v}{\partial \nu }}udS\,$
3. $\int _{U}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int _{\partial U}({\frac {\partial v}{\partial \nu }}u-{\frac {\partial u}{\partial \nu }}v)dS\,$

onde $\nu \,$ é o vetor unitário exterior normal.

Primeira identidade de Green

Essa identidade é derivada do teorema da divergência aplicada ao campo vetorial $F=\psi \nabla \varphi$ e usando a identidade $\nabla (\varphi X)=\nabla \varphi X+\varphi \nabla X$ onde $\varphi$e $\psi$são funções escalares definidas em alguma região $U\subset R^{d}$, e supondo que $\varphi$é duas vezes continuamente diferenciável, e $\psi$é uma vez continuamente diferenciável. Então:

$\int _{U}(\psi \nabla \varphi +\nabla \psi \nabla \varphi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\nabla \varphi n)dS=\oint _{\partial U}\psi \nabla \varphi dS$

onde $\Delta \equiv \nabla ^{2}$é o operador laplaciano, $\partial U$é a limite da região $U$, n é a unidade normal que aponta para fora dos elementos de superfície $dS$e $dS$é o elemento de superfície orientada.

Esse teorema é um caso especial do teorema da divergência, e é essencialmente equivalente dimensional superior da integração por partes com $\psi$ e o gradiente de $\varphi$substituindo $u$ e $v$.

Note que a primeira identidade de Green acima é um caso especial da identidade geral derivado do teorema da divergência substituindo $F=\psi \Gamma ,$

$\int _{U}(\psi \nabla \Gamma +\Gamma \nabla \psi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\Gamma n)dS=\oint _{\partial U}\psi \Gamma dS.$

Segunda identidade de Green

Se $\varphi$ e $\psi$ forem ambos duas vezes continuamente diferenciáveis em $U\subset R^{3}$, e $\varepsilon$ uma vez continuamente diferenciável, é possível escolher $F=\psi \varepsilon \nabla \varphi -\varphi \varepsilon \nabla \psi$ para obter

$\int _{U}[\psi \nabla (\varepsilon \nabla \varphi )-\varphi \nabla (\varepsilon \nabla \psi )]dV=\oint _{\partial U}\varepsilon (\psi {\partial \phi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.$

Para o caso especial de $\varepsilon$= 1 em todo $U\subset R^{3}$, então,

$\int _{U}(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi )dV=\oint _{\partial U}(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.$

Na equação acima, ∂φ/∂n é a derivada direcional de $\varphi$na direção do normal n apontada fora para o elemento de superfície $dS$,

${\partial \varphi \over \partial n}=\nabla \varphi n=\nabla n\varphi .$

Em particular, essa demonstração do Laplaciano auto-adjunto no produto interno de $L^{2}$ para funções desaparecendo nos limites.

Terceira identidade de Green

A terceira identidade de Green deriva da segunda identidade ao escolher $\varphi =G$, onde a função $G$de Green é considerada uma solução fundamental do operador de Laplace $\Delta$. Isso significa que:

$\Delta G(x,\eta )=\delta (x-\eta .)$

Por exemplo, em $R^{3}$, a solução tem a forma

$G(x,\eta )={-1 \over 4\pi ||x-\eta ||}.$

A terceira identidade de Green diz que se $\psi$ é uma função duas vezes continuamente diferenciável em $U$, então

$\int _{U}[G(y,\eta )\Delta \psi (y)]dVy-\psi (\eta )=\oint _{\partial U}[G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)-\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}]dSy.$

A simplificação surge se $\psi$for uma função harmônica. Então $\nabla ^{2}\psi =0$e a identidade é simplificada para

$\psi (\eta )=\oint _{\partial U}[\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}-G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)]dSy.$

O segundo termo na integral acima pode ser eliminado se G é escolhido para ser a função de Green para o limite da região $U$ onde o problema é colocado,

$\psi (\eta )=\oint _{\partial U}\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}dS.$

Essa forma é usada para construir soluções de problemas de contorno de Dirichlet. Para achar soluções para os problemas de contorno de Neumann, a função de Green com desaparecimento do gradiente normal nos limites é usada.

É possível verificar que a identidade acima também se aplica quando $\psi$é a solução para a equação de Helmholtz ou equação de onda e $G$é a função de Green apropriada. Nesse contexto, a identidade é matematicamente expressa como o princípio de Huygens.