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Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.

Limitação em Editar

Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma  .

Se um subconjunto de   está contido num intervalo da forma   diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma   diz-se limitado inferiormente.

Definição em um espaço métricoEditar

  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Definição em um espaço normadoEditar

As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:

  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.

Definição em um espaço linear topológicoEditar

  • Um conjunto   é dito limitado se para toda vizinhança da origem  , existe um escalar   tal que:
 

PropriedadesEditar

  • Se   e   é limitado,   é limitado.
  • A união finita de limitados é um conjunto limitado.
  • Todo conjunto pré-compacto   é limitado

Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva:

 ,   é a bola de centro x e raio n.

Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita:

 ,   é a bola de centro x e raio n.

Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo  , pot  

Conjuntos d-limitados e -limitadosEditar

Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.

Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.

Veja tambémEditar

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