Conjunto limitado

Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.

Limitação em $\mathbb {R}$

Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma $[a,b]~~a<b\,$.

Se um subconjunto de $\mathbb {R}$ está contido num intervalo da forma $(-\infty ,a]\,$ diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma $[a,+\infty )\,$ diz-se limitado inferiormente.

Definição em um espaço métrico

• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Definição em um espaço normado

As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:

• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.

Definição em um espaço linear topológico

• Um conjunto $E$ é dito limitado se para toda vizinhança da origem $V$, existe um escalar $\lambda$ tal que:

$E\subseteq \lambda V$

Propriedades

• Se $A\subseteq B$ e $B$ é limitado, $A$ é limitado.
• A união finita de limitados é um conjunto limitado.
• Todo conjunto pré-compacto $E$ é limitado

Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva:

$E\subseteq {\overline {E}}\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }B(x,n)$, $B(n,r)\,$ é a bola de centro x e raio n.

Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita:

$E\subseteq {\overline {E}}\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}B(x,n)$, $B(n,r)\,$ é a bola de centro x e raio n.

Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo $B_{x,n}\,$, pot $nV\,$

Conjuntos d-limitados e $\tau$-limitados

Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.

Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.

Veja também

• Compacidade
• Conjunto totalmente limitado
• Teorema de Heine-Borel, um conjunto é compacto em $\mathbb {R} ^{n}$ se e somente se é fechado e limitado.