Lema de Fatou

Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.

EnunciadoEditar

Seja   uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

 

DemonstraçãoEditar

Defina   e  .

  formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

 

Da definição de  , temos ainda:

 

Tomando o ínfimo em  , vale:

 

Passando ao limite em  , segue:

 

Como , temos o resultado:

 

CorolárioEditar

Seja   uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função  , tal que:

 

então:

 

Ver tambémEditar