Método das divisões

Em matemática, o método das divisões permite a transformação de frações, equivalentes e não equivalentes a uma fração decimal, na forma de expansão decimal. Este método é um detalhamento do método de dividir o numerador pelo denominador para transformar a fração em número decimal. São usadas sucessivas divisões euclidianas para se determinar a parte inteira, os décimos, os centésimos, os milésimos, etc. do número racional que representa a fração.

O método

Todo número racional $p$ pode ter sua expansão decimal escrita da seguinte maneira :

$p=a_{n}\times 10^{n}+...+a_{1}\times 10+a_{0}+{\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+{\frac {b_{3}}{10^{3}}}...$

Pode-se escrever $p$, de forma mais simplificada, da seguinte maneira:

$p=a_{n}...a_{1}a_{0},b_{1}b_{2}b_{3}...$,

onde $a_{n},...,a_{1},a_{0},b_{1},b_{2},b_{3},...$ são algarismos de 0 a 9. Nota-se que as casas depois da vírgula (ou parte fracionária positiva) pode ser escrita como uma soma de frações decimais, as quais tem como numerador o número de sua respectiva casa decimal. Esse método pode ser utilizado tanto em uma fração ordinária que é equivalente a uma fração decimal quanto nas que não são equivalentes a uma fração decimal.

No caso específico de um racional $a/b$ que está entre 0 e 1, para gerar a sua expressão decimal $0,q_{1}q_{2}q_{3}...$ são realizadas repetidas divisões euclidianas, onde cada $q_{i}$ se refere a um quociente e $r_{i}$ se refere a um resto de cada divisão euclidiana, observando-se que:

• $10\times a=q_{1}\times b+r_{1}$, com $0\leq r_{1}\leq b$;
• $10\times r_{1}=q_{2}\times b+r_{2}$, com $0\leq r_{2}\leq b$;
• $10\times r_{2}=q_{3}\times b+r_{3}$, com 0 $\leq r_{3}\leq b$;

e assim sucessivamente, continuando este processo até se chegar ao primeiro resto $r_{i}$ nulo ou, caso a fração não seja equivalente a uma fração decimal, gerando-se uma expansão decimal infinita periódica:

${\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {q_{2}}{100}}+{\frac {q_{3}}{1000}}+...=0,q_{1}q_{2}q_{3}...$

Em outras palavras, o método se encerra quando houver a primeira repetição de resto, notando-se que, se $r_{i}$ for igual a $b$, é gerada uma dízima periódica.

Caso das frações não equivalentes a uma fração decimal

Quando uma fração não é equivalente a uma fração decimal, a sua expansão decimal é, obrigatoriamente, uma expansão infinita periódica. Contudo, o método pode ser utilizado para descobrir a sua expansão decimal, pois existe, a partir de uma certa casa decimal, uma repetição de dígitos (um período de expansão), que é o primeiro e menor bloco de repetição que aparece e se repete sucessivamente no restante da expansão decimal.

Exemplos

Abaixo são apresentados alguns exemplos.

• ${\frac {255}{1000}}={\frac {2}{10}}+{\frac {5}{100}}+{\frac {5}{1000}}=0,255$;
• ${\frac {23}{5}}={\frac {46}{10}}=4+{\frac {6}{10}}=4,6$;
• ${\frac {7}{4}}=1,75$;
• ${\frac {1}{3}}=0,33...=0,{\overline {3}}$.

No caso do penúltimo exemplo, nota-se que, como $7=1\times 4+3$, então

${\frac {7}{4}}={\frac {1\times 4+3}{4}}=1+{\frac {3}{4}}$.

Prosseguindo, determina-se a casa dos décimos

${\frac {3}{4}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {30}{4}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {7\times 4+2}{4}}={\frac {1}{10}}\times (7+{\frac {2}{4}})={\frac {7}{10}}+{\frac {2}{40}}$,

de modo que

${\frac {7}{4}}=1+{\frac {7}{10}}+{\frac {2}{40}}$

Da mesma forma para determinar a casa dos centésimos

${\frac {2}{40}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {20}{40}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {20}{4}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {4\times 5+0}{4}}={\frac {1}{100}}\times (5+{\frac {0}{4}})={\frac {5}{100}}$

e, portanto,

${\frac {7}{4}}=1+{\frac {7}{10}}+{\frac {5}{100}}=1,75$.

Nota-se que, a cada passo do método, busca-se escrever a fração decimal que representa a casa decimal. Agora, para o caso do último exemplo, ou seja, da fração ${\frac {1}{3}}$, como o numerador é menor que o denominador, segue que a parte inteira é $0$. Determina-se a casa dos décimos

${\frac {1}{3}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {10}{3}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {3\times 3+1}{3}}={\frac {1}{10}}\times (3+{\frac {1}{3}})={\frac {3}{10}}+{\frac {1}{30}}$,

e a casa dos centésimos

${\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}\times {\frac {10}{30}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {10}{3}}={\frac {1}{100}}\times {\frac {3\times 3+1}{3}}={\frac {1}{100}}\times (3+{\frac {1}{3}})={\frac {3}{100}}+{\frac {1}{300}}.$

Percebe-se que as divisões acima estão gerando repetição, de modo que é possível afirmar a fração leva a uma dízima periódica, ou seja, a sua expansão decimal é infinita e periódica. Assim:

${\frac {1}{3}}=0+{\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+...=0,33...=0,{\overline {3}}$.

Formalização do método das divisões

A formalização do método é feita considerando-se apenas a parte fracionária, sem se considerar a parte inteira. Para tal, consideram-se os racionais escritos como uma fração ${\frac {a}{b}}$, com $0<a<b$, sendo cada parte da expansão decimal realizada separadamente. Para a casa dos décimos, é realizada a primeira divisão euclidiana, entre $a$ e $b$:

${\frac {a}{b}}={\frac {10\times a}{10\times b}}={\frac {1}{10}}{\frac {q_{1}\times b+r_{1}}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {r_{1}}{10\times b}}$, onde $0\leq r_{1}<b$.

Assim, como $0<a<b$, segue que $0<10\times a<10\times b$. Como $10\times a=q_{1}\times b+r_{1}$, pode-se escrever $0<q_{1}\times b+r_{1}\times b$. Vale ressaltar que $r_{1}\geq 0$, de modo que $0\leq q_{1}\leq 9$. Por outro lado,

$0\leq r_{1}<b\Rightarrow 0\leq r_{1}<{\frac {10\times b}{10}}\Rightarrow 0\leq {\frac {r_{1}}{10\times b}}<{\frac {1}{10}}$.

Logo, segue que em ${\frac {a}{b}}$ cabem apenas $q_{1}$ décimos e esse primeiro passo pode ser resumido como:

${\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {r_{1}}{10\times b}}$, onde $0\leq {\frac {r_{1}}{10\times b}}<{\frac {1}{10}}$.

Se ocorrer $r_{1}=0$, segue que ${\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}$ e a aplicação do método está finalizada (ou seja, ${\frac {a}{b}}$ é um número com um número apenas após a vírgula). Caso $r_{1}\neq 0$, segue-se para a próxima casa, a dos centésimos. Supondo, então, $0<r_{1}<b$, é realizada uma segunda divisão euclidiana

${\frac {r_{1}}{10\times b}}={\frac {10\times r_{1}}{100\times b}}={\frac {1}{100}}{\frac {q_{2}\times b+r_{2}}{b}}={\frac {q_{2}}{100}}+{\frac {r_{2}}{100\times b}}$, onde $0\leq r_{2}<b$.

Como $0<10\times r_{1}<10\times b$ pode ser escrito como $0<q_{2}\times b+r_{2}<10\times b$, e como $r_{2}\geq 0$, segue que $0\leq q_{2}\leq 9$. Por outro lado, $0\leq r_{2}<b$ dá $0\leq {\frac {r_{2}}{100\times b}}<{\frac {1}{100}}$, e então segue que em $a/b$ cabem apenas $q_{2}$ centésimos.

Resumindo, se

${\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {q_{2}}{100}}{\frac {r_{2}}{100\times b}},0\leq {\frac {r_{2}}{100\times b}}<{\frac {1}{100}}$

e, no caso em que $r_{2}=0$, tem-se a expansão ${\frac {a}{b}}={\frac {q_{1}}{10}}+{\frac {q_{2}}{100}}$. Mas se $r_{2}\neq 0$, é preciso determinar a próxima casa decimal. Enquanto são encontrados restos não nulos, o processo é continuado. Ou seja, tendo sido determinado o dígito da $k$-ésima casa depois da vírgula, se $0<{\frac {r_{k}}{10^{k}\times b}}<{\frac {1}{10^{k}}}$, segue-se para a determinação do dígito da $(k+1)$-ésima casa; para isso, é realizada uma nova divisão euclidiana, para ver qual o maior múltiplo de ${\frac {1}{10^{k+1}}}$ que cabe em ${\frac {r_{k}}{10^{k}\times b}}$.