Mapa de Rulkov

O mapa de Rulkov é um modelo de disparo neuronal baseado em um sistema dinâmico discreto. Foi proposto por Nikolai F. Rulkov em 2001. A utilização desse tipo de sistema no estudo sobre redes de neurônios apresenta vantagens computacionais quando comparado com um sistema dinâmico contínuo, uma vez que demanda menos memória e simplifica a computação de grandes redes neurais.

Gráfico da evolução temporal de $x_{n}$ em regime de disparo único (a) com parâmetros $\alpha =4$,$\sigma =0.01$,$\mu =0.001$ e condições iniciais $x_{0}=-0.9$, $y_{0}=-3$ e regime de rajada (b) com parâmetros $\alpha =5.3$,$\sigma =-0.1$,$\mu =0.001$ e condições iniciais $x_{0}=-1.3$, $y_{0}=-3.6$

Modelo

O mapa de Rulkov, por se tratar de um sistema dinâmico discreto, apresenta $n$ como variável temporal e é representado pelo mapa iterado bidimensional

${\begin{cases}x_{n+1}=f(x_{n},y_{n})\\y_{n+1}=y_{n}-\mu (x_{n}+1)+\mu \sigma \end{cases}}$.

Sendo que $f(x_{n},y_{n})$ é descrito por

$f(x_{n},y_{n})={\begin{cases}{\frac {\alpha }{1-x_{n}}}+y_{n},&x_{n}\leq 0\\\alpha +y_{n},&0<x_{n}<\alpha +y_{n}\\-1,&x_{n}\geq \alpha +y_{n}\end{cases}}$,

em que $x_{n}$ representa o potencial de membrana do neurônio e $y_{n}$ não tem significado biológico explícito, embora possa ser feita alguma analogia com uma variável de controle simulando um canal iônico. $y_{n}$ é uma variável dita como lenta, devido aos valores muito pequenos adotados no parâmetro $\mu$$(0<\mu <<1)$. O parâmetro $\sigma$ pode ser interpretado como uma corrente contínua injetada no neurônio como estímulo externo e $\alpha$ é um parâmetro de controle do comportamento do modelo. Diferentes combinações de parâmetros $\sigma$ e $\alpha$ dão origem às dinâmicas de repouso, picos tônicos e rajadas. Para que o modelo possa descrever todos os comportamentos é necessário que $\alpha >4$, caso contrário, apenas os dois primeiros podem ser descritos.

Análise

A dinâmica do mapa de Rulkov pode ser analisada a partir de seu submapa rápido unidimensional, ou seja, a equação de evolução da variável $x_{n}$. Como $y_{n}$ evolui muito lentamente, por uma quantidade de tempo considerável esta variável pode ser tratada como um parâmetro constante no submapa rápido unidimensional. Dependendo do valor de $y_{n}$, este submapa pode ter um ou três pontos fixos. Quando três são presentes, um dos pontos fixos é estável, outro é instável e o terceiro pode alterar sua estabilidade. Conforme $y_{n}$ aumenta, dois desses pontos fixos (um estável e um instável) se fundem e desaparecem por bifurcação sela-nó.

Ver também

• Modelos de disparos neuronais
• Modelo de Hodgkin-Huxley
• Modelo de FitzHugh-Nagumo
• Modelo de Hindmarsh-Rose