Matemática financeira

área da matemática aplicada, a probabilidade

A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.[1] Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.[2] E esses conceitos, comuns nos livros didáticos de matemática, propõem e reforçam comportamentos financeiros ligados ao consumo quando trabalham o conteúdo com questões e exemplos relativos ao tema.[3]

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

ConceitosEditar

  • Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.
  • Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
  • Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
  • Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Juros compostosEditar

 Ver artigo principal: Juro

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é : [2]

 

ou, invertendo os termos,

 

onde

  •   Valor Futuro (do inglês Future Value)
  •   Valor Presente (do inglês Present Value)
  •   Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
  •   Número de períodos

Fórmulas e aplicaçõesEditar

Número fixo de pagamentos de mesmo valorEditar

 
Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.[2]

O valor   de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro ( ) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

 

Nesse caso, o Valor Presente ( ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

 

Esse somatório representa a soma de uma progressão geométrica porque cada parcela   é o resultado da parcela anterior multiplicado por uma constante. Nesse caso. trata-se de uma progressão geométrica de valor inicial   e razão (constante   a ser multiplicada pelo termo anterior) de  . Assim, aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica  , chega-se em:

 

simplificando os termos, chega-se em:

 

ou, invertendo os termos,

 

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre   e   existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

Número infinito de pagamentos de mesmo valorEditar

 
Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente ( ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando   Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica  , chega-se a:

 

simplificando os termos, chega-se em:

 

Pagamentos não periódicos ou de valores diferentesEditar

Nesses casos, não é possível chegarmos em uma fórmula genérica simples para o Valor Presente  . É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento descontando cada parcela pelo prazo correspondente. No caso dos pagamentos terem uma periodicidade constante, pode-se usar a fórmula comumente chamada de Valor Presente Líquido   (ou   do inglês Net Present Value):

  onde   é o Fluxo de Caixa (do inglês Cash Flow) no período  

Avaliação financeira de projetosEditar

Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.[2]

Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:

  •   ou   Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.
  •   ou   Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.
  •   ou   Valor Presente Líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.
 

A taxa de juros ( ) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.

Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:

Payback: Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.

Taxa Interna de Retorno - TIR ou IRR (do inglês Internal Rate of Return): Valor da taxa de juro para que   seja igual a 0 (zero).

Ver tambémEditar

Referências

  1. “Matemática Financeira é a disciplina que tem por objetivo o estudo da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo é com posto de equações matemáticas que expressam, principalmente, a relação entre o valor de uma quantia em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma form a prática, a Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos em préstim os e de sua rentabilidade.” —Matemática financeira: fundamentos e aplicações – Dal Zot, Wili Castro, Manuela Longoni.
  2. a b c d D.Sc. Marcus Vinicius Quintella Cury. «Matemática Financeira» (PDF). FGV. Consultado em 14 de setembro de 2016. Cópia arquivada (PDF) em 10 de dezembro de 2014 
  3. Silva, Marcio Antonio da (27 de fevereiro de 2019). «A política cultural dos livros didáticos de matemática: um guia para transformar estudantes em cidadãos neoliberais». Linhas Crí­ticas: e21853–e21853. ISSN 1981-0431. doi:10.26512/lc.v25.2019.21853. Consultado em 18 de agosto de 2022  soft hyphen character character in |jornal= at position 11 (ajuda)

Ligações externasEditar

O Wikilivros tem um livro chamado Matemática financeira
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