Nó toral

Na teoria dos nós, um nó toral é um tipo especial de que pertence a uma superfície de um toro não atada em R3. Da mesma forma, um enlace toral é um enlace que se encontra na superfície de um toro de mesma forma. Cada nó toral é especificado por um par de números inteiros, que são primos entre si  p e q. Um enlace toral surge se p e q não são primos entre si (caso em que o número de componentes é o  mdc (p, q)). Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou -1. O exemplo mais simples de um nó não trivial é a do nó toral (2,3), também conhecido como o nó de trevo.

Nó toral 3-D
EureleA (Um Prêmio em forma de nó toral (2,3)).
Enlace toral(2,8)
Nó toral (2,-3) conhecido como nó de trevo.

Representação geométricaEditar

Um nó toral pode ser composto geometricamente em várias formas que são topologicamente equivalentes, mas geometricamente distintas. A convenção utilizada neste artigo e seus números, é a seguinte.

O nó toral (p,q) sendo q a quantidade de vezes que gira em torno de um círculo no interior do toro, e p a quantidade de vezes que gira em torno de seu eixo de simetria de rotação. Se p e q não são relativamente primos, então temos um toro de vínculo com mais de um componente.

A direção em que os fios do nó enrola em torno do too, também está sujeito a diferentes convenções. O mais comum é fazer com que os fios formem uma forma de parafuso para direita para que p, q > 0.[1][2][3].

O nó toral (p,q) pode ser dado pela parametrização

 

onde   e  . Esta situa-se na superfície do toro por   (em coordenadas cilíndricas).

Outras parametrizações também são possíveis, porque os nós são definidos sobre contínuas deformações. As ilustrações do nó toral (2,3) e (3,8) podem ser obtidas tomando-se   e no caso do nó (2,3) subtraindo-se, respectivamente,   e   acima das parametrizações de x e y. O último generaliza-se suavemente para quaisquer primos entre si , p,q satisfazendo  .

PropriedadesEditar

 
Diagrama de um nó toral (3,-8).

Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou-1.

Cada nó toral não trivial é primo e quiral.

O nó toral (p,q) é equivalente ao nó toral (q,p). Isso pode ser comprovado pelo movimento dos fios na superfície do toro, que é muito bem ilustrado «aqui». sketchesoftopology.wordpress.com . O  nó (p,−q) é o contrário (imagem espelhada) do nó (p,q). O nó (−p,−q)  é equivalente a (p,q), exceto pela inversão da orientação.[4][5][6]

 
O nó toral (3, 4) aberto sobre um superfície do toro

Qualquer nó toral(p,q) pode ser feita a partir de uma trança fechada com p fios. O expressão da trança adequada é [4]

 

O número de cruzamentos de a no nó toral(p,q) com p,q > 0 é dada por

c = min((p−1)q, (q−1)p).

O gênero de um nó toral com p,q > 0 é

 

O polinômio de Alexander de um nó toral é

 

O polinômio de Jones (destros) do nó toral é dado por

 

O complemento de um nó toral na 3-esfera é uma variedade de fibra Seifert, fibrado sobre o disco com duas fibras singulares.

Tomando Y como a concavidade p de um chapéu de burro com um disco removido de seu interior, Z sendo a concavidade q de um chapéu de burro com um disco removido e o seu interior, e X o quociente do espaço obtido através da identificação de Y e Z , ao longo de seu limite de círculo. O complemento do nó de um nó toral (p, q)  retrai deformações para o espaço X. Portanto, o grupo de nós de um nó toral tem a seguinte característica:

 

Nós torais são apenas nós cujo grupos de nó não-triviais do centro (o que é um ciclo infinito, gerado pelo elemento na apresentação acima).

O fator de alongamento de um nó toral (p,q) , como uma curva no espaço Euclidiano, é Ω(min(p,q)), para o  nó toral que estiver acoplado em fatores de alongamento. O pesquisador John Pardon ganhou em 2012 o prêmio Morgan por sua pesquisa provar este resultado, resolvendo um problema originalmente colocado por Mikhail Gromov.[7][8]

Ligação de hipersuperfícies complexasEditar

O nó toral (p,q) surge quando considera-se o enlace de uma isolada hipersuperfície complexa singular. Uma intersecção de uma hipersuperfície complexa com uma hiperesfera, centrada no ponto singular isolado, e com o raio suficientemente pequeno para que ele não inclua e nem encontre, quaisquer outros pontos singulares. A intersecção dá uma subvariedade da hiperesfera.

Seja p e q inteiros, primos entre si e maiores ou iguais a dois. Considere a função holomorfa   dada por   Temos   sendo o conjunto   tal que  Dado um número real   definimos o real na 3-esfera   como dado por   A função   tem um ponto crítico isolado em   visto que   se, e somente se   Assim, consideramos a estrutura   fechada em   Para fazer isso, consideramos a interseção   Essa intersecção é chamada também de enlace de sigularidade   O enlace de  , onde p e q são primos entre si, e ambos maiores ou iguais a dois, sendo exatamente o nó toral(p, q)[9].

Ver tambémEditar

Referências

  1. Livingston, Charles (1993). Knot theory. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-027-3
  2. Murasugi, Kunio (1996). Knot theory and its applications. Birkhäuser. ISBN 3-7643-3817-2
  3. Kawauchi, Akio (1996). A survey of knot theory. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5124-1
  4. a b Lickorish, W. B. R. (1997).
  5. Dehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Arquivado em 15 de abril de 2012, no Wayback Machine.
  6. Birman, J. S., and Brendle, T. E. Braids: a survey. In: Menasco, W., and Thistlethwaite, M. (Eds.) (2005). Handbook of knot theory. Elsevier. ISBN 0-444-51452-X.
  7. Kehoe, Elaine (abril 2012), «2012 Morgan Prize», Notices of the American Mathematical Society, 59 (4): 569–571, doi:10.1090/noti825 .
  8. Pardon, John (2011), «On the distortion of knots on embedded surfaces», Annals of Mathematics, Second Series, 174 (1): 637–646, MR 2811613, arXiv:1010.1972 , doi:10.4007/annals.2011.174.1.21 .
  9. Milnor, J. (1968), Singular Points of Complex Hypersurfaces, ISBN 0-691-08065-8, Princeton University Press8 

Ligações externasEditar