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Toro (topologia)

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Toro
Torus 3d.png
Notação
Característica de Euler 0
Grupo fundamental
Homologia
Animação Toróide

Toro ou Toróide (em inglês Torus) - é um espaço topológico homeomorfo ao produto de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de uma câmara de pneu. Em geometria, pode ser definido como o lugar geométrico tridimensional formado pela rotação de uma superfície circular plana de raio r, em torno de uma circunferência de raio R.

Índice

Formas de construir um toroEditar

  • Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
  • Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.

GeometriaEditar

Um toro pode ser imerso no   como uma superfície algébrica do quarto grau.

Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:

 
 
 

em que

u, v estão no intervalo [0, 2π],
R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,
r é o raio do tubo.

Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:

 

eliminando a raiz quadrada, chega-se a:

 

A área da superfície e o volume do interior são dados por:

 
 

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro, em que sua altura é o equivalente à circunferência média do toro   e o raio da base equivalente ao raio da seção transversal do toro  . Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.

Propriedades topológicasEditar

 
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O toro é uma superfície topológica compacta, conexa e orientável, que pode ser representada por um polígono (no caso, quadrado) com uma orientação nas arestas. Esta orientação representa a identificação das arestas. Uma possível triangulação do toro é dada pela figura abaixo, na qual o toro é representado pelo quadrado com os lados identificados [1] .

 
Triangulação do Toro

Podemos também triangularizar o bitoro, que é uma soma conexa de dois toros, triangularizando a região poligonal que o representa, que é um polígono com uma orientação nas arestas. Esta orientação determina como as arestas devem ser coladas para formar a figura topológica.[1] Uma possível triangulação do bitoro é dada pela figura abaixo:

 
Bitoro
 
Triangulação do Bitoro

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Hatcher, 2002

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar

 
O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Torus

GaleriaEditar

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