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Esquema de uma ponte de Wien: em verde o filtro e em azul o amplificador

Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.

Índice

HistóriaEditar

A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.

ModelagemEditar

 
Esquema de um oscilador

Considere   e   as tensões de entrada e saída do amplificador e   a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:

  •  
  •  

Substituindo   em  , tem-se:

  •  

Que pode ser simplificado em

  •  

ou, equivalentemente:

  •  

SoluçãoEditar

Caso linearEditar

Quando a relação entre   e   é linear, ou seja:

 

para alguma constante  ,   recai em:

  •  

Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:

  •  

Nestes termos, a equação se escreve:

  •  

A solução geral desta equação é dada por:

  •  

onde   e   são as raízes da equação do segundo grau:[1]

  •  

Assim, temos:

  •  

Os autovalores   possuem parte imaginária não nula quando  , neste caso a solução geral é dada por:

  •  

onde:  

Observam-se aqui três casos distintos:

  • Fator de amortecimento positivo  : o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo.
  • Fator de amortecimento negativo  : o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo.
  • Fator de amortecimento nulo  : o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.

Caso não linearEditar

 
Oscilador com amplificador não linear.

Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:

  • Controlar o ganho   do amplificador, de forma que   aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho.
  • Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre   e   seja dada por uma relação da forma:
    •  
Onde   é tipicamente uma função ímpar tal que:
  •  
  •  

Conformador como estabilizador de amplitudeEditar

Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:

  •  

a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:

  •  

onde   e

  •  

Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período   e analisar apenas a sua primeira harmônica  , :

  •  

O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:

  •  

Temos que   é uma função da amplitude  , mas não depende do período  . Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:

  •  

Se a função   tiver derivada segunda negativa, então   é uma função decrescente em  . Vamos supor que existe uma amplitude crítica   tal que:

  •  

então a solução   aproxima um ciclo limite estável da equação.

Notas e referências

  1. Quando  , a solução geral é dada por  
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