Função periódica

função que repete seus valores em intervalos ou períodos regulares

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.[1] Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.[1]

O seno e o cosseno são funções periódicas.

Definição de função real periódicaEditar

Um função   é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que   para todo x real.[1]

Observe que se uma função tem período T então   para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT, pois:


 


A função constante   é T-periódica para qualquer  .

O conjunto dos períodos de uma função  ,  , pode ser vazio, discreto ou denso em  . Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma   onde   é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em   é a função indicadora de   em  , definida como:

  •  

Para tanto, temos o seguinte teorema: Se  é uma função integrável T-periódica, então o valor da integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, ou seja:

  não depende de x.

Portanto, temos a seguinte identidade:

 

Demonstração[2]: Escrevemos  como um número inteiro  mais uma parte fracionária  e concluímos que podemos escrever  , onde  , isto é,  .

 

 

Mudança de variáveis   e  :

 

Da periodicidade, temos que  e  

 

 

Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em termos de t da seguinte forma:

 

 

Propriedades de funções reais periódicasEditar

O conjunto das funções periódicas de um certo período   formam uma álgebra, ou seja, se   e   são T-periódicas, então:

I)   é T-periódica
II)   é T-periódica para todo   real
III)   é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv)   é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

  e   são periódicas com período   e  , respectivamente. No entanto   é aperiódica.

Se uma função   é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

 

Para toda função real periódica com período fundamental  , definimos a sua frequência   e sua velocidade angular   como:

  •   e
  •  

Por consequência[2],

A soma de funções periódicas é uma não é uma função periódica;

Seja  uma função real par diferenciável, então  

A única função real par e ímpar é a função  

Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função ímpar e outra par.

Funções Complexas Duplamente PeriódicasEditar

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

  números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos  e   linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.

Referências

  1. a b c Gabriel Alessandro de Oliveira. «Funções periódicas». R7. Brasil Escola. Consultado em 28 de abril de 2013 
  2. a b Azevedo, Fábio. Análise de Fourier. [S.l.: s.n.] pp. p13 – 14 
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