Axiomas de probabilidade

Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de $S$, chamado de $\sigma$-álgebra (pronuncia-se sigma-álgebra ou campo de Borel), denotado por $\mathbb {B} \,$, se $\mathbb {B} \,$ satisfaz às propriedades:

• $\emptyset$ ∈ $\mathbb {B} \,$ (o conjunto vazio é um elemento de $\mathbb {B} \,$);
• Se $A$ ∈ $\mathbb {B} \,$;
• Se A₁, A₂, ... ∈ $\mathbb {B} \,$..

Na teoria da probabilidade de Kolmogorov, a probabilidade $P$ de algum evento $E$, denotado por $P(E)$, geralmente é definida tal que $P$ satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo Andrey Kolmogorov, que são descritos abaixo.

Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, F, P) um espaço de medida intervalo com P (Ω) = 1. Então (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade, com espaço amostral Ω, espaço de evento F e medida de probabilidade P. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo Teorema de Cox.

Axiomas

Primeiro axioma

A probabilidade de um evento é um número real não negativo:

$P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in {\mathcal {F}}$

Onde ${\mathcal {F}}$ é o espaço de evento ($\sigma$-álgebra). Em particular, $P(E)$ é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.

Segundo axioma

Este é o pressuposto da unidade de medida: é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.

$P(\Omega )=1.$

Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.

Terceiro axioma

Este é o pressuposto de σ-aditividade:

Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos) $E_{1},E_{2},...$ satisfaz

$P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).$

Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na distribuição de quasiprobabilidade, em geral, o terceiro axioma é expandido, permitindo que a função de probabilidade assuma valores negativos.

Consequências

A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.

Monotonia

$\quad {\text{se}}\quad A\subseteq B\quad {\text{então}}\quad P(A)\leq P(B).$

A probabilidade do conjunto vazio

$P(\emptyset )=0.$

O limite numérico

Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:

$0\leq P(E)\leq 1\qquad {\text{∀}}E\in F.$

Provas

As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas consequências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: $E_{1}=A$ and $E_{2}=B\backslash A$,Quando $\quad A\subseteq B{\text{ and }}E_{i}=\emptyset$ for $i\geq 3$. É fácil de ver que os conjuntos $E_{i}$.São disjuntos dois a dois e $E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B$. Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:

$P(A)+P(B\backslash A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).$

Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:

$P(B)$ o qual é finito, obtêm-se ambos $P(A)\leq P(B)$ e $P(\emptyset )=0$.

A segunda parte da declaração é visto por contradição se: $P(\emptyset )=a$ em seguida o lado esquerdo não é inferior a:

$\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{cases}}$

Se $a>0$ obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse $P(B)$ que é finito. Assim, $a=0$. Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que $P(\emptyset )=0$.

Mais consequências

Outra propriedade importante é:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vão acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão.

$P(\Omega \setminus E)=1-P(E)$

Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.

Exemplo simples: moeda-lance

Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir:

$\Omega =\{H,T\}$

$F=\{\emptyset ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$

Axiomas de Kolmogorov implicam que:

$P(\emptyset )=0$

A probabilidade de cara ou coroa é 1.

$P(\{H,T\})=1$

A probabilidade de cara mais coroa é 1.

$P(\{H\})+P(\{T\})=1$

A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.

Ver também

• Lei da probabilidade total
• Medida (matemática)
• σ-álgebra
• Teoria da Probabilidade
• Probabilidade condicional

Bibliografia

• Von Plato, Jan, 2005 ", der Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung" em Grattan-Guinness, I., ed Escritos marco na Matemática ocidentais.. Elsevier: 960-69. (em inglês)
• Glenn Shafer; Vladimir Vovk. «As origens e o legado de Kolmogorov de Grundbegriffe» (PDF) 

Ligações externas

• # KolProCal Kolmogorov `s cálculo de probabilidades, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• # M2 Definição formalde probabilidade no sistema de Mizar, e a lista de teoremas formalmente provado sobre isso.