Problema ortogonal de Procrustes

O Problema de Procrustes Ortogonal é um problema de aproximação de matriz em Álgebra linear. Em sua forma clássica é dada por duas matrizes $A$ e $B$ e pede-se para encontrar uma matriz ortogonal $R$ que mais se aproxima de $A$ x $B$ . Especificamente,

R=\arg \min _{\Omega }\|A\Omega -B\|_{F}\quad \mathrm {subject\ to} \quad \Omega ^{T}\Omega =I,

Onde $\|\cdot \|_{F}$ denota a Norma Frobenius.

O nome Procrustes refere-se a um bandido da mitologia grega que vivia na serra de Elêusis. Em sua casa, ele tinha uma cama de ferro, que tinha seu exato tamanho, para a qual convidava todos os viajantes a se deitarem. Se os hóspedes fossem demasiados altos, ele amputava o excesso de comprimento para ajustá-los à cama, e os que tinham pequena estatura eram esticados até atingirem o comprimento suficiente. Uma vítima nunca se ajustava exatamente ao tamanho da cama porque Procrustes, secretamente, tinha duas camas de tamanhos diferentes.^[1]^[2]

Solução editar

Este problema foi originalmente resolvido por Peter Schonemann em uma tese de 1964.^[3] A solução individual foi posteriormente publicada em 1998.^[4]

Este problema é equivalente a encontrar a matriz ortogonal mais próxima dada pela matriz $M=A^{T}B$ . Para encontrar essa matriz ortogonal $R$ utiliza-se a Decomposição em valores singulares

M=U\Sigma V^{*}\,\!

que leva a

R=UV^{*}.\,\!

Generalização/Restrição do Problema editar

Existe uma série de problemas relacionados ao clássico Problema de Procustes Ortogonal. Pode-se generalizar procurando a matriz mais próxima em que as colunas são ortogonais, mas não necessariamente ortonormais.

Alternativamente, pode-se restringi-lo, permitindo apenas que matrizes de rotação (ou seja, matrizes ortogonais com Determinante igual a 1, também conhecido como matrizes ortogonais especiais). Neste caso, pode-se escrever (utilizando a decomposição acima $M=U\Sigma V^{*}$ ).

R=U\Sigma 'V^{*},\,\!

Onde $\Sigma '\,\!$ é modificado por $\Sigma \,\!$ , com o menor valor singular substituído por $\operatorname {sign} (\det(UV^{*}))$ (+1 or -1) e os outros valores singulares substituído por 1, de modo que o determinante de R tem a garantia de ser positivo. Para mais informações, consulte o Kabsch algorithm.

Ver também editar

Referências editar

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). «Section 7.3». Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2
Samet, H. (2006). Foundations of Multidimensional and Metric Data Structures. [S.l.]: Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-369446-9
Este artigo inclui texto do artigo Orthogonal Procrustes problem.

↑ Tesouro da Fraseologia Brasileira, Antenor Nascentes, p.164
↑ Dicionário da Mitologia Grega e Romana, Pierre Grimal, p.396
↑ Schonemann, P.H. (1966), «Cópia arquivada» (PDF), Psychometrika, 31: 1–10, doi:10.1007/BF02289451, consultado em 3 de dezembro de 2013, cópia arquivada (PDF) em |arquivourl= requer |arquivodata= (ajuda) 🔗.
↑ Zhang, Z. (1998), A Flexible New Technique for Camera Calibration (PDF), MSR-TR-98-71 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/zhang/Papers/TR98-71.pdf |url= missing title (ajuda)

[1] Tesouro da Fraseologia Brasileira, Antenor Nascentes, p.164

[2] Dicionário da Mitologia Grega e Romana, Pierre Grimal, p.396

[3] Schonemann, P.H. (1966), «Cópia arquivada» (PDF), Psychometrika, 31: 1–10, doi:10.1007/BF02289451, consultado em 3 de dezembro de 2013, cópia arquivada (PDF) em |arquivourl= requer |arquivodata= (ajuda) 🔗.

[4] Zhang, Z. (1998), A Flexible New Technique for Camera Calibration (PDF), MSR-TR-98-71 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/zhang/Papers/TR98-71.pdf |url= missing title (ajuda)

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