Norma matricial

Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de normaEditar

Seja   o espaço vetorial das matrizes   reais ou complexas. Uma norma   é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

[1]
  1.  
  2.  
  3.  

Norma operacional euclidianaEditar

Quando uma matriz   é vista como um operador entre os espaços euclidianos   e  , a norma natural é dada pela norma operacional:

 

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

  •  , sempre que o produto está bem definido
  •   onde   é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximoEditar

Seja   uma matriz  . A norma infinito ou norma do máximo da matriz  , denotada por  , é o número não negativo

 

(a maior soma absoluta das linhas)[2]

Norma 1Editar

Seja   uma matriz  . A norma 1 da matriz  , denotada por  , é o número não negativo

 

A norma da matriz  , por exemplo, é  [3]

Normas baseadas nas entradasEditar

Estas normas vetoriais tratam uma matriz   como um vetor de tamanho   e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

 

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma InduzidaEditar

Se a norma vetorial de   é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

 

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

 

No caso de   e  , as normas podem ser calculadas como:

  que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.
  que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.
Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

 

Por outro lado, seja o vetor  , com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde   ocorre. Tem-se

 

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

  Cqd

Equivalência entre as normasEditar

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se   e   são normas em   então existem constantes   e   tais que:

 

Referências

  1. Robert Plato. Concise numerical mathematics (em inglês). [S.l.]: American Mathemcatical Society. ISBN 0-8218-2953-X 
  2. pág.22
  3. pag.22