Regra de Cramer

Regra de Cramer para os inteiros

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).[1][2]

Se é um sistema de equações e incógnitas. (Onde é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, é o vetor coluna das incógnitas e é o vetor coluna dos termos independentes)

Então , a solução do sistema é dada por:

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

DemonstraçãoEditar

Sejam os vetores   e   e a matriz  .

Seja ainda a matriz  , obtida pela substituição da coluna   pelo vetor  , tal que

 .

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

 

então:

 

Sejam:

 
 

Portanto:

 

(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz  

ExemploEditar

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:

Dado

 
 

que em forma matricial é:

 

x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer

 
 

Referências

  1. Cramer, Gabriel (1750). «Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques» (em francês). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Consultado em 22 de julho de 2019 
  2. Kosinski, A. A. (2001). «Cramer's Rule is due to Cramer». Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101 

BibliografiaEditar

  • Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C.F. (2003). Álgebra Linear e Aplicações. [S.l.]: Atual. 352 páginas. ISBN 8570562977 
  • Boldrini; Costa e Fiqueiredo; Wetzler (1986). Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. 412 páginas. ISBN 9788529402024 
  • Leon, Stevan J. (2011). Álgebra Linear e Suas Aplicações 8ª ed. [S.l.]: LTC. 504 páginas. ISBN 8521611560 

Ligações externasEditar