Regra de l'Hôpital

A regra de L'Hôpital, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.

Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ou . A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

EnunciadoEditar

Sejam   e   funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos  , com  .

Se      ou     

Então, se  ,

com   ou   ou  :

 

Com  ,  ,  ,   ou  .

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente   ou   ou  , noutro caso nada se pode concluir.

AplicaçõesEditar

 

 

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

 
 
 

aplicando a regra de L'Hôpital:

 
 
 

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

 
 
 
 

derivando:

 
 
 

ExemplosEditar

Alguns exemplos podem ser fornecidos.

 

Aplicando a regra de l'Hôpital:

 

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

 

Aplicando a regra

 

DemonstraçãoEditar

Caso especialEditar

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que  , e que  . Então

 

HistóriaEditar

Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Marquês, mas sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Ligações externasEditar

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