Forma indeterminada

No cálculo e em outros ramos da análise matemática, os limites de uma combinação algébrica de funções em uma variável independente podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus limites individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma forma indeterminada . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma expressão matemática envolvendo , e . É obtida pela aplicação do teorema do limite algébrico no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.[1][2]

Existem sete formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:[2]

O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada " .Por exemplo, como se aproximando de , as proporções , , e tendem a , , e respectivamente. Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é , que é indefinido. De uma maneira geral, pode assumir os valores , , ou , e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.

Então, dado que duas funções e ambas se aproximam de quando aproxima-se de algum ponto , esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite

 

Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão é indefinido como um número real, mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá divergir para o infinito, já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.[3]

Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo, que surge da substituição para na equação não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como divisão por zero ). Outro exemplo é a expressão . Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual , dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo Zero à potência de zero . Observe que e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .

Alguns exemplos e não exemplosEditar

Forma indeterminada 00Editar

A forma indeterminada   é encontrada regularmente em cálculo, porque com frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.

Como acima mencionado,

  (see fig. 1)

enquanto

  (see fig. 2)

Isso é o suficiente para mostrar que   é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem

  (see fig. 3)

e

  (see fig. 4)

A substituição direta do número que   se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada  , mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado   pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:

  (see fig. 5)

O valor que   também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):

  (see fig. 6)

Os limites a seguir ilustram que a expressão   é uma forma indeterminada:

  (see fig. 7)
  (see fig. 8)

Assim, em geral, sabendo que   e   não é suficiente para avaliar o limite

 

 

Se as funções   e   são analíticas em  , e   é positivo para   suficientemente perto (mas não igual) para  , então o limite de   será   .[4] Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.

Expressões que não são formas indeterminadasEditar

A expressão   não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que   poderia se aproximar. Especificamente, se   se aproxima de   e   se aproxima de  , então   e   podem ser escolhido para que:

  1.   se aproxime de  
  2.   se aproxima de  
  3. O limite não existe.

Em cada caso, o valor absoluto   se aproxima de  , e então o quociente   deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da linha real projetivamente estendida, o limite é o infinito sem sinal   em todos os três casos [3] ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário   com   (Incluindo   e   ) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.

A expressão   não é uma forma indeterminada. A expressão  , obtida considerando  , dá o limite  , conquanto que   permanece não negativo como   se aproximando de   . A expressão   é equivalente a   ; E se   quando   se aproxima de  , o limite sai como   .

Para ver porque, deixe   Onde   e   Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando   concluímos que  o que significa que  

Avaliando formas indeterminadasEditar

O adjetivo indeterminado não implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, a regra de L'Hôpital ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.[1]

Infinitesimal equivalenteEditar

Quando duas variáveis   e   convergem para zero no mesmo ponto limite e  , eles são chamados de infinitesimais equivalentes (equiv.   )

Além disso, se as variáveis   e   são tais que   e  , então:

 

Aqui está uma prova rápida:

Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes   e   .

 

Para a avaliação da forma indeterminada  , pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre infinitesimais equivalentes (por exemplo,   se x ficar mais próximo de zero):[5]

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Por exemplo:

 

 

Na igualdade,   onde   conforme y se torna mais próximo de 0 é usado, e   onde   é usado na igualdade, e   é usado na igualdade.

Regra de L'HôpitalEditar

A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas   e   . Esta regra afirma que, sob condições apropriadas

 

 

onde   e   são as derivadas de   e   . (Observe que esta regra não se aplica a expressões  ,  , e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.

A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 0 :

 

 

O lado direito tem a forma  , então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o logaritmo natural (ln) é uma função contínua ; é irrelevante o quão bem comportado   e   pode (ou não) ser tão longo quanto   é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )

Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos   e  , uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando   para   .

Lista de formas indeterminadasEditar

A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.

Forma indeterminada Condições Transformação para   Transformação para  
00  
 
      
       
       
       
       
       

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

Referências

  1. a b «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Indeterminate». Math Vault (em inglês). 1 de agosto de 2019. Consultado em 2 de dezembro de 2019 
  2. a b Weisstein, Eric W. «Indeterminate». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 2 de dezembro de 2019 
  3. a b «Undefined vs Indeterminate in Mathematics». www.cut-the-knot.org. Consultado em 2 de dezembro de 2019 
  4. Louis M. Rotando; Henry Korn (Janeiro de 1977). «The indeterminate form 00». Mathematics Magazine. 50: 41–42. doi:10.2307/2689754 
  5. «Table of equivalent infinitesimals» (PDF). Vaxa Software