Sistema autônomo (matemática)

Na teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema autônomo é um sistema de equações diferenciais ordinárias que não depende nas variáveis independentes.

Definição

Um sistema autônomo de ordem n é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$

onde x é um vetor de n dimensões.

Note que a função $f\,$ não depende (diretamente) de $t\,$, dependendo apenas da função $u\,$

Sistema autônomo de primeira ordem

Um sistema autônomo de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

• ${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x)\,$

onde $x(t)\,$ é uma função real da variável t.

Solução

A técnica de resolução consiste em separar os diferenciais:

• ${\frac {dx}{f(x)}}=dt\,$

e integrar:

• $\int _{t_{0}}^{t}{\frac {1}{f(x)}}dx=t-t_{0}\,$

Exemplo

• ${\frac {d}{dt}}x(t)=x^{2}\,$

restrito à condição inicial $x(0)=1\,$ A solução é dada por:

• ${\frac {1}{x(0)}}-{\frac {1}{x(t)}}=t\,$

ou, resolvendo para $x\,$:

• $x(t)={\frac {1}{1-t}},~~t<1\,$