Subespaço vetorial

um espaço vetorial que é subconjunto de outro espaço vetorial

Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

DefiniçãoEditar

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam   e   espaços vetoriais sobre o corpo  . Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

  •  
  •  
  •  

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

  •  
  •  

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que   é um espaço vetorial e  , presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que   e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

ExemplosEditar

  • Em  , o conjunto   é um subespaço vetorial.
  • Se considerarmos que   é um espaço vetorial sobre  , então   é um subespaço vetorial.
  • O conjunto   é um subespaço vetorial de  .
  • O conjunto dado pelas equações paramétricas   é um subespaço vetorial de  .
  • Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja   uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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