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Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Índice

DefiniçõesEditar

Seja  , um subconjunto de um conjunto   parcialmente ordenado pela relação  .

  • Um elemento   é dito majorante, limite superior ou cota superior de   se:
 
  • Um elemento   é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de   se:
 
  • Um elemento   é dito supremo de   se for o menor dos majorantes:
  e
 
  • Um elemento   é dito ínfimo de   se for o maior dos minorantes:
  e
 
  • Um majorante   é dito máximo de   se  .
  • Um minorante   é dito mínimo de   se  .
  • Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
  • Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

NotaçãoEditar

  • Se um conjunto   possui máximo, ele é denotado:
 
  • Se um conjunto   possui mínimo, ele é denotado:
 
  • Se um conjunto   possui supremo, ele é denotado:
 
  • Se um conjunto   possui ínfimo, ele é denotado:
 

Se   é uma função de um conjunto   em um conjunto parcialmente ordenado  , então usa-se a notação:

  e suas análogas.

CompletudeEditar

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto BA, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

ExemplosEditar

  • O intervalo fechado   possui um elemento mínimo   e máximo  .
  • O intervalo semi fechado   possui um elemento mínimo  , todo   é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o   que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
  •  
Esse conjunto possui um supremo real,   e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.
Esse conjunto tem mínimo   e máximo  , segundo a ordem  .
Todo   tem supremo e ínfimo em  , segundo a ordem  .

PropriedadesEditar

  •  , contanto que ambos existam.
  •  , contanto que ambos existam.
  •  , contanto que ambos existam.

As duas últimas propriedades são chamadas de monotonicidade.

No conjunto de números reaisEditar

 Ver artigo principal: axioma do supremo
  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos,  , podemos considerar:

  • O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como  .
  • O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como  .
  • Na notação de supremo, temos que uma função   é limitada se e somente se:
 , ou, considerando os reais estendidos,  

Supremo e ínfimo do conjunto vazioEditar

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

  •  
  •  
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