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Teste M de Weierstrass

Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciadoEditar

Seja   uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto  ,   uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

  •   para todo   e todo  .
  •  

Então:

  converge uniformemente em  

DemonstraçãoEditar

O teste da comparação garante que a série numérica:

  converge para cada  

Seja   o limite pontual de   Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um  . Da convegência da série formada pelos  , temos que existe um   tal que:

 

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

 

E o resultado segue, pois   não foi escolhido com base em  .

GeneralizaçãoEditar

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

  •  .

Ver tambémEditar