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Raio de convergência

Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto , onde é centro da série e é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta . Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

, onde são os coeficientes da série:

Existe um forma alternativa que é: , quando este limite existe.

ExemplosEditar

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência  .

  •  
  •  
  •  

A convergência na circunferência  , no entanto, é diferente para cada caso:

  •   não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
  •   não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo   de módulo unitário pelo teste de Abel.
  •   converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica  .

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

  •  

Esta série não pode convegir para nenhum   pelo teste do termo geral, convergindo apenas para  

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

  •  

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula de HadamardEditar

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

 

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola  . Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto   tal que  .

Para mostrar a primeira parte, escolha  . Escolha um   tal que  

Da definição de limite superior temos:

  para algum  

Agora podemos estimar os termos da série:

 

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica   que é convergente.

Agora escolha um   tal que  . Escolha   tal que  , da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência   tal que:

 

Assim a o termo   não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.

Ver tambémEditar