Na teoria das Séries de Taylor , o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.
No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto
(
a
−
R
,
a
+
R
)
{\displaystyle (a-R,a+R)\,}
a
{\displaystyle a\,}
R
{\displaystyle R\,}
bola aberta
|
x
−
a
|
<
R
{\displaystyle |x-a|<R\,}
circunferência
|
x
−
a
|
=
R
{\displaystyle |x-a|=R\,}
A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência :
R
−
1
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
1
/
n
{\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}
a
n
{\displaystyle a_{n}\,}
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,}
Existe um forma alternativa que é:
R
=
lim
n
→
∞
|
a
n
a
n
+
1
|
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\,}
As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência
(
R
=
1
)
{\displaystyle \left(R=1\right)\,}
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\,}
g
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
{\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,}
h
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
2
{\displaystyle h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}\,}
A convergência na circunferência
R
=
1
{\displaystyle R=1\,}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)\,}
z de módulo unitário pelo teste do termo geral .
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)\,}
z = 1 , pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo
z
≠
1
{\displaystyle z\neq 1\,}
teste de Abel .
h
(
z
)
{\displaystyle h(z)\,}
z de módulo unitário, por comparação com a série numérica
∑
n
=
0
∞
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,}
Uma série pode ter raio de convergência nulo:
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
n
!
z
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n!z^{n}\,}
Esta série não pode convegir para nenhum
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0\,}
teste do termo geral , convergindo apenas para
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
Uma série pode ter raio de convergência infinito:
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,}
Neste caso, a série converge para todo z .
A fórmula de Hadamard
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A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:
R
−
1
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
1
/
n
{\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}
Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.
O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola
|
Z
−
a
|
≤
r
<
R
{\displaystyle |Z-a|\leq r<R\,}
Z
{\displaystyle Z\,}
|
Z
−
a
|
>
R
{\displaystyle |Z-a|>R\,}
Para mostrar a primeira parte, escolha
r
<
R
{\displaystyle r<R\,}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\,}
R
−
1
+
ε
<
ρ
−
1
<
r
−
1
{\displaystyle R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1}<r^{-1}\,}
Da definição de limite superior temos:
|
a
n
|
1
/
n
<
R
−
1
+
ε
<
ρ
−
1
,
n
>
N
{\displaystyle |a_{n}|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon <\rho ^{-1},~~n>N\,}
N
{\displaystyle N\,}
Agora podemos estimar os termos da série:
|
a
n
(
Z
−
a
)
n
|
≤
ρ
−
n
r
n
=
(
ρ
r
)
−
n
,
n
>
N
{\displaystyle |a_{n}(Z-a)^{n}|\leq \rho ^{-n}r^{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n},~~n>N\,}
E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass , comparando com a série numérica
M
n
=
(
ρ
r
)
−
n
{\displaystyle M_{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n}\,}
Agora escolha um
Z
{\displaystyle Z\,}
|
Z
−
a
|
>
R
{\displaystyle |Z-a|>R\,}
ε
{\displaystyle \varepsilon \,}
R
−
1
−
ε
>
|
Z
−
a
|
−
1
{\displaystyle R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}
limite superior , temos a existência de uma subseqüência
{
a
n
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,}
|
a
n
k
|
1
/
n
k
>
R
−
1
−
ε
>
|
Z
−
a
|
−
1
{\displaystyle |a_{n_{k}}|^{1/{n_{k}}}>R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}
Assim a o termo
a
n
k
|
Z
−
a
|
n
k
{\displaystyle a_{n_{k}}|Z-a|^{n_{k}}\,}
teste do termo geral .
