Teste da comparação

O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

• $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
• $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$

Então se $0\leq a_{n}\leq b_{n}$, para todo o $n\geq p$ (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se $|a_{n}|\leq b_{n}$, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

2º critério da comparação

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

$l=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}:b_{n}\neq 0,\forall n\in \mathbb {N}$

• se $l\in \left]0,\infty \right[$ as séries $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ e $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ têm a mesma natureza.
• se $l=0$

(a) se $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, então $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge

• se $l=+\infty$

(a) se $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, então $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge

Demonstração

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

$S_{N}^{b}:=\sum _{n=1}^{N}b_{n}$ é uma sequência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

$S_{N}^{a}:=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$

Queremos mostrar que $S_{N}^{a}$ é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

$\left|S_{N+k}^{a}-S_{N}^{a}\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}\right|$

Use a desigualdade triangular:

$\left|S_{N+k}^{a}-S_{N}^{a}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|a_{n}|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}b_{n}=|S_{N+k}^{b}-S_{N}^{b}|$

Sendo $S_{N}^{b}$ uma sucessão de Cauchy, $S_{N}^{a}$ também o é.

Exemplos

Seja a série fatorial que define o número de Euler: $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ Denote por $S_{n}$ e $R_{n}$ as somas parciais e o resíduo de ordem N:

$e=S_{N}+R_{N}\,$

$S_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{N!}}$

$R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

Vamos mostrar que a série converge e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

$R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {N!}{n!}}$

Como ${\frac {N!}{n!}}={\frac {1}{(N+1)(N+2)\cdots (n)}}<{\frac {1}{(N+1)^{n-N}}},~~n>N$

Assim comparamos:

$R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\leq {\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {1}{(N+1)^{n-N}}}={\frac {1}{N!}}\sum _{n=N+1}^{\infty }(N+1)^{-(n-N)}$

Usanda a soma da série geométrica, temos:

$R_{N}={\frac {1}{N!(N+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }(N+1)^{-n}\leq {\frac {1}{N!(N+1)}}{\frac {1}{1-(N+1)^{-1}}}={\frac {1}{N!N}}$