O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler (não confundir com a constante de Euler) em homenagem ao matemáticosuíçoLeonhard Euler, número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper[1], constante de Néper, número neperiano, número exponencial e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
Gráfico da equação Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.
para , ou seja:
ou ainda, substituindo-se n por
Cujo valor é aproximadamente 2,718281828459045235360287.
A função exponencial tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
Isto significa que tem a notável propriedade de que a taxa de variação de no ponto x = t vale . Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.
Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções , também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir como sendo o único número maior que zero tal que:
Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:
Obtém-se tal relação por meio da fórmula:
que, por sua vez, advém da série de Taylor para .
Leonhard Euler começou a usar a letra para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de foi na publicação Euler’s Mechanica (1736).
As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque é a primeira letra da palavra exponencial.
Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a .