Teste da condensação de Cauchy

Em matemática, o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente de números reais, então a série converge se e somente se a "série condensada" converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que .

Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel, e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando .

Estimativas e demonstraçãoEditar

O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:

 

as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos.

Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.

 

Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente  .

 
 
Visualização do argumento: somas parciais das séries  ,   e  .

Teorema 1Editar

A série   converge se   e diverge se  .

DemonstraçãoEditar

Se   a série claramente diverge, já que  . Se  , aplicando o teste da condensação, temos:

 .

Temos   se e somente se  , ou seja,  . O resultado segue da convergência da série série geométrica, fazendo  .[1]

Teorema 2Editar

Se   então a série   converge. Se   então a série diverge.

DemonstraçãoEditar

A monotonocidade da função logarítmica implica que   é crescente. Sendo assim,   é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.

  e o resultado segue do teorema anterior.[2]

Referências

  1. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 62. ISBN 978-0-07-054235-8 
  2. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 63. ISBN 978-0-07-054235-8 

Links ExternosEditar