Usuário(a):B.VonAhn/Velocidade de Queda

A velocidade terminal é a velocidade máxima atingível por um objeto ao cair através de um fluido. Ocorre quando a força de arrasto (F_d) e a força de empuxo são iguais à força da gravidade (F_G) atuando sobre o objeto, como a força resultante no objeto é zero, o objeto tem aceleração nula.^[1] Na dinâmica dos fluidos, um objeto está se movendo em sua velocidade terminal se sua velocidade for constante devido à força restritiva exercida pelo fluido através do qual ele está se movendo.^[2]

À medida que a velocidade de um objeto aumenta a força de arrasto que atua sobre ele também aumenta. Em determinada velocidade, o arrasto, ou força de resistência que o meio exerce sobre a partícula, será igual à atração gravitacional no objeto (a força de empuxo é considerada baixa, ou seja, desprezível). Nesse ponto, o objeto para de acelerar e continua caindo a uma velocidade constante chamada de velocidade terminal (também chamada de velocidade de estabilização). Um objeto que se move para baixo mais rápido do que a velocidade terminal (por exemplo, porque foi lançado para baixo) vai desacelerar até atingir a velocidade terminal.

O arrasto depende da área projetada, da seção transversal do objeto ou de sua forma em um plano horizontal. Um objeto com uma grande área projetada em relação à sua massa, como um paraquedas, tem uma velocidade terminal inferior do que um com uma pequena área projetada em relação à sua massa, como um dardo. Em geral, para a mesma forma e material, a velocidade terminal de um objeto aumenta com o tamanho. Isso ocorre porque a força para baixo (peso) é proporcional ao cubo da dimensão linear, mas a resistência do ar é aproximadamente proporcional à área da seção transversal, que aumenta apenas com o quadrado da dimensão linear. Para objetos muito pequenos, como poeira e névoa, a velocidade terminal é facilmente superada por correntes de convecção que os impedem de atingir o solo e, portanto, ficam suspensos no ar por períodos indefinidos.

Exemplos

Gráfico de velocidade x tempo de um paraquedista atingindo uma velocidade terminal.

Com base na resistência do vento, por exemplo, a velocidade final de um paraquedista em uma posição de queda livre de barriga para baixo (de bruços) é de cerca de 195 km/h.^[3] Essa velocidade é o valor limite assintótico da velocidade, e as forças que atuam no corpo se equilibram cada vez mais à medida que a velocidade terminal se aproxima. Neste exemplo, uma velocidade de 50% da velocidade terminal é alcançada após apenas cerca de 3 segundos, enquanto leva 8 segundos para atingir 90%, 15 segundos para atingir 99% e assim por diante.

Velocidades mais altas podem ser atingidas se o paraquedista puxar seus membros junto ao corpo. Neste caso, a velocidade do terminal aumenta para cerca de 320 km/h^[3] que é quase a velocidade final do falcão peregrino mergulhando sobre sua presa.^[4] A mesma velocidade terminal é alcançada para uma bala .30-06 caindo para baixo - quando está voltando ao solo depois de ser disparada para cima, ou lançada de uma torre - de acordo com um estudo de Armamento do Exército dos EUA de 1920.^[5]

Os paraquedistas em velocidade de competição voam de cabeça para baixo e podem atingir velocidades de 530 km/h, o recorde atual é de Felix Baumgartner que saltou de uma altura de 39 mil metros e atingiu 1.357,6 km/h. Ele alcançou está velocidade em grandes altitudes, onde a densidade do ar é muito menor do que na superfície da Terra, gerando uma baixa força de arrasto.

Física

Usando termos matemáticos, a velocidade terminal - sem considerar o empuxo - é dada por:

V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}

Onde

$V_{t}$ representa a velocidade terminal,
$m$ é a massa do objeto em queda,
$g$ é a aceleração devido à gravidade ,
$C_{d}$ é o coeficiente de arrasto ,
$\rho$ é a densidade do fluido através do qual o objeto está caindo, e
$A$ é a área projetada do objeto.

Na realidade, um objeto se aproxima de sua velocidade terminal assintoticamente .

O empuxo, devido à força ascendente no objeto pelo fluido circundante, pode ser levado em consideração usando o princípio de Arquimedes : a massa $m$ tem que ser reduzido pela massa de fluido deslocada $\rho V$ , com $V$ o volume do objeto. Então, em vez de $m$ use a massa reduzida $m_{r}=m-\rho V$ nesta e nas fórmulas subsequentes.

A velocidade terminal de um objeto muda devido às propriedades do fluido, a massa do objeto e sua área de superfície transversal projetada. Em fluidos as condições de queda podem ocorrer em meio homogêneo (mesma densidade) e meio estratificado (variação do fluido ao longo da vertical, diferentes densidades e viscosidades). No meio homogêneo a partícula desenvolve resistência pelo próprio fluido (viscosidade do fluido) e desce em velocidade constante até atingir a terminal. No meio estratificado a partícula necessita de um tempo maior para percorrer a mesma distância de coluna d'água, quando comparada ao meio homogêneo, sendo que a partir de um determinado tempo perde velocidade até ficar estacionária.

A densidade do ar aumenta com a diminuição da altitude, em cerca de 1% por 80 m. Para objetos que caem na atmosfera, a cada 160 m de queda, a velocidade terminal diminui 1%. Após atingir a velocidade terminal local, enquanto continua a queda, a velocidade diminui para mudar com a velocidade terminal local.

Derivação para velocidade terminal

Usando termos matemáticos, definindo para baixo como positivo, a força resultante atuando em um objeto caindo perto da superfície da Terra é (de acordo com a equação de arrasto):

F_{net}=ma=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{d},

com v ( t ) a velocidade do objeto em função do tempo t .

No equilíbrio, a força resultante é zero ( F_net = 0) e a velocidade se torna a velocidade terminal $lim t \to\infty v (t) = V t$ </br> $lim t \to\infty v (t) = V t$ :

mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.

Resolvendo para rendimentos V _t

(5)

V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.

Derivação da solução para a velocidade v em função do tempo t

A equação de arrasto é - assumindo que ρ, g e C _d são constantes:

ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.

Embora esta seja uma equação de Riccati que pode ser resolvida por redução a uma equação diferencial linear de segunda ordem, é mais fácil separar variáveis .

Uma forma mais prática desta equação pode ser obtida fazendo a substituição $α 2 = ρAC d 2 mg$ .

Dividindo ambos os lados por m dá

{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).

A equação pode ser reorganizada em

\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.

Tomando a integral de ambos os lados produz

\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t^{\prime }}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v^{\prime }}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.

Após a integração, isso se torna

t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^{\prime }) \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v^{\prime })}{2\alpha }}+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v^{\prime }}{1-\alpha v^{\prime }}} \over 2\alpha }+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v}

ou de uma forma mais simples

t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {arctanh} (\alpha v)}{\alpha g}},

com arctanh a função tangente hiperbólica inversa .

Alternativamente,

{\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,

com tanh, a função tangente hiperbólica . Assumindo que g é positivo (o que foi definido como sendo), e substituindo α de volta, a velocidade v torna-se

v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).

Como o tempo tende ao infinito ( t → ∞), a tangente hiperbólica tende a 1, resultando na velocidade terminal

V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.

Velocidade terminal em um fluxo lento

Grão isolado em queda: linhas de corrente, força de arrasto F_d e força da gravidade F_g

Para movimento muito lento do fluido, as forças de inércia do fluido são desprezíveis (supondo fluido sem massa) em comparação com outras forças. Esses fluxos são chamados de fluxos graduais e a condição a ser satisfeita para os fluxos serem fluxos graduais é o número de Reynolds, $Re\ll 1$ . A equação de movimento para fluxo de arrasto (equação simplificada de Navier-Stokes) é dada por

{\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }

Onde

${\mathbf {v} }$ é o campo vetorial de velocidade do fluido,
$p$ é o campo de pressão do fluido,
$\mu$ é a viscosidade líquido / fluido.

A solução analítica para o coeficiente de arraste em torno de uma esfera foi dada pela primeira vez por Stokes em 1851. A partir da solução de Stokes, a força de arrasto atuando na esfera pode ser obtida como:

\quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad {\text{or}}\qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}

onde o número Reynolds, $Re={\frac {1}{\mu }}\rho dV$ . A expressão para a força de arrasto dada pela equação (6) é chamada de lei de Stokes .

Quando o valor de $C_{d}$ é substituído na equação (5), obtemos a expressão para a velocidade terminal de um objeto esférico que se move sob condições de fluxo lento:

V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),

Onde $\rho _{s}$ é a densidade do objeto.

Aplicações

Os resultados do fluxo gradual podem ser aplicados para estudar a sedimentação de sedimentos próximo ao fundo do oceano e a queda de gotas de umidade na atmosfera. O princípio também é aplicado no viscosímetro, um dispositivo experimental usado para medir a viscosidade de fluidos altamente viscosos, por exemplo, óleo, parafina, alcatrão etc.

Velocidade terminal na presença de força de empuxo

Velocidade de sedimentação W_s de um grão de areia (diâmetro d, densidade 2650 kg /m³) em água a 20°C, calculado com a fórmula de Soulsby (1997).

Quando os efeitos empuxo são levados em consideração, um objeto caindo através de um fluido sob seu próprio peso pode atingir uma velocidade terminal (velocidade de estabilização) se a força resultante atuando sobre o objeto se tornar zero. Quando a velocidade terminal é alcançada, o peso do objeto é exatamente equilibrado pelo empuxo, força para cima, e pela força de arrasto. Isso é

\quad (1)\qquad W=F_{b}+D

Onde

$W$ = peso do objeto,
$F_{b}$ = força de empuxo agindo sobre o objeto, e
$D$ = força de arrasto atuando no objeto.

Se o objeto em queda tiver forma esférica, a expressão para as três forças é dada abaixo:

{\begin{aligned}\quad &(2)\qquad &W&={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g,\\\quad &(3)\qquad &F_{b}&={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,\\\quad &(4)\qquad &D&=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,\end{aligned}}

Onde

$d$ é o diâmetro do objeto esférico,
$g$ é a aceleração gravitacional,
$\rho$ é a densidade do fluido,
$\rho _{s}$ é a densidade do objeto,
$A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}$ é a área projetada da esfera,
$C_{d}$ é o coeficiente de arrasto, e
$V$ é a velocidade característica (tomada como velocidade terminal, $V_{t}$ )

Substituição das equações (2–4) na equação (1) e resolução para velocidade terminal, $V_{t}$ para produzir a seguinte expressão

\quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.

Na equação (1), assume-se que o objeto é mais denso que o fluido. Caso contrário, o sinal da força de arrasto deve ser negativo, pois o objeto estará se movendo para cima, contra a gravidade. Os exemplos são bolhas formadas no fundo de uma taça de champanhe e balões de hélio. A velocidade terminal em tais casos terá um valor negativo, correspondendo à taxa de aumento.

Veja também

Referências

↑ «Terminal Velocity». NASA Glenn Research Center. Consultado em March 4, 2009 Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
↑ Riazi, A.; Türker, U. (January 2019). «The drag coefficient and settling velocity of natural sediment particles». Computational Particle Mechanics. doi:10.1007/s40571-019-00223-6 Verifique data em: |data= (ajuda)
↑ ^a ^b Huang, Jian (1999). «Speed of a Skydiver (Terminal Velocity)». The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College
↑ «All About the Peregrine Falcon». U.S. Fish and Wildlife Service. December 20, 2007. Cópia arquivada em March 8, 2010 Verifique data em: |arquivodata=, |data= (ajuda)
↑ The Ballistician (March 2001). «Bullets in the Sky». W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Cópia arquivada em 31 de março de 2008 Verifique data em: |data= (ajuda)

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[1] «Terminal Velocity». NASA Glenn Research Center. Consultado em March 4, 2009 Verifique data em: |acessodata= (ajuda)

[2] Riazi, A.; Türker, U. (January 2019). «The drag coefficient and settling velocity of natural sediment particles». Computational Particle Mechanics. doi:10.1007/s40571-019-00223-6 Verifique data em: |data= (ajuda)

[Huang1999-3] Huang, Jian (1999). «Speed of a Skydiver (Terminal Velocity)». The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College

[4] «All About the Peregrine Falcon». U.S. Fish and Wildlife Service. December 20, 2007. Cópia arquivada em March 8, 2010 Verifique data em: |arquivodata=, |data= (ajuda)

[5] The Ballistician (March 2001). «Bullets in the Sky». W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Cópia arquivada em 31 de março de 2008 Verifique data em: |data= (ajuda)

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