Usuário(a):Lyra math/Equações Diferenciais Parciais

A motivação para o estudo de equações diferenciais parciais (EDP) esta no fato de que muito problemas físicos importantes apresentam duas ou mais variáveis independentes e por sua vez, o modelo para representar tal fenômeno nos leva ao uso de equações a derivadas parciais. Exemplos de tais fenômenos são: a equação da onda e equação do calor.

Definição

Uma equação que envolve uma ou mais derivadas parciais de uma função desconhecida de duas ou mais variáveis independentes é chamada equação diferencial parcial, onde a ordem da mais alta derivada é a ordem da equação. Se a equação diferencial parcial for de primeiro grau na variável dependente e em suas derivadas parciais, então esta equação é dita equação diferencial parcial linear. Podemos então escrever tal equação como

$F\left(x,y,...,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},...,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},...,\right)=0,$

onde $(x,y,...)$ são as variáveis independentes e $u\equiv u(x,y,...)$ é a variável independente chamada função incógnita.

Observações:

1. equações do tipo $u{\frac {\partial u}{\partial x}}$ são não lineares.
2. $u$ deve ser função de ao menos duas variáveis independentes.

Exemplos

EDP lineares

${\textrm {a.}}\ \ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial u^{2}}{\partial y^{2}}}=0,\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y);$

${\textrm {b.}}\ \ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-3{\frac {\partial u^{2}}{\partial z^{2}}},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y,z);$

${\textrm {c.}}\ \ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=u,\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y);$

${\textrm {d.}}\ \ e^{x^{2}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {2}{y^{3}}}{\frac {\partial u}{\partial y}},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y);$

${\textrm {e.}}\ \ \cos(2x){\frac {\partial u^{3}}{\partial x^{3}}}+{\frac {\ln(x+y)}{x^{2}+y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}}=xyw{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x\partial y\partial z\partial w}},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y,z,w).$

EDP não lineares

${\textrm {a.}}\ \ u^{3}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y}}={\frac {u}{5}}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x\partial y\partial z}},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y,z);$

${\textrm {b.}}\ \ {\frac {\partial u^{2}}{\partial x\partial y}}={\frac {1}{u}},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y);$

${\textrm {c.}}\ \ {\frac {\partial u^{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial u^{2}}{\partial y^{2}}}+u^{2},\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y);$

${\textrm {d.}}\ \ u^{5}{\frac {\partial u^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial u^{2}}{\partial y^{2}}}=\ln u,\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y,z,w);$

${\textrm {e.}}\ \ \left(u{\frac {\partial u^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{2}=0\ \ {\textrm {com}}\ \ u\equiv u(x,y).$

Classificação de uma equação diferencial parcial de segunda ordem

Definição

Equação diferencial parcial linear de segunda ordem ou equação de derivadas parciais linear de segunda ordem é toda equação da forma

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+Fu=G,\quad \quad (1)$

onde os coeficientes $A,B,...,G$ são funções das variáveis independentes $x\ {\textrm {e}}\ y,\ {\textrm {e}}\ u\equiv u(x,y)$ é a variável dependente. Consideremos que tanto $u(x,y)$ como os coeficientes da equação acima são continuamente diferenciáveis e que os coeficientes $A,B\ {\textrm {e}}\ C$ não são simultaneamente nulos.

Classificação

A classificação de uma equação diferencial parcial baseia-se na possibilidade de reduzí-la a sua forma canônica, em um ponto de seu domínio, através de uma transformação de coordenadas. Essa classificação é análoga à classificação de uma quádrica. A partir da forma geral acima, dizemos que uma equação é hiperbólica, parabólica ou elíptica em um certo ponto $P(x_{0},y_{0})$ de seu domínio se o discriminante

$\Delta \equiv B^{2}(x_{0},y_{0})-A(x_{0},y_{0})C(x_{0},y_{0})$

for respectivamente positivo, nulo ou negativo nesse ponto . Se isto acontecer para todos os pontos do domínio dizemos que a equação é hiperbólica, parabólica ou elíptica no domínio considerado.

Transformação de coordenadas

Para o caso de duas variáveis independentes é sempre possível encontrar uma transformação de coordenadas que deixa a equação invariante, ou seja, que conserva a forma da equação, desde que o jacobiano da transformação seja diferente de zero. Considerando, para duas variáveis independentes, uma transformação de coordenadas geral dada por

$\xi =\xi (x,y)\ {\textrm {e}}\ \eta =\eta (x,y),$

onde $\xi$ e $\eta$ são pelo menos duas vezes continuamente diferenciáveis e que o jacobiano

$J\equiv det{\begin{bmatrix}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}&{\frac {\partial \xi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \eta }{\partial x}}&{\frac {\partial \eta }{\partial y}}\end{bmatrix}}\neq 0$

no domínio considerado, de modo que $x$ e $y$ possam ser obtidos univocamente das equações para $\xi$ e $\eta$. Assim, introduzindo essas transformações na equação diferencial original e calculando as derivadas pela regra da cadeia, obtemos a nova equação.

${\bar {A}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\bar {B}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+{\bar {C}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\bar {D}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\bar {E}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\bar {F}}u={\bar {G}},$

onde os novos coeficientes são dados por

${\bar {A}}=A\left({\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \xi \partial \xi }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \xi }{\partial y}}\right)^{2};$

${\bar {B}}=2A{\frac {\partial \xi \partial \eta }{\partial x\partial x}}+B\left({\frac {\partial \xi \partial \eta }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \xi \partial \eta }{\partial y\partial x}}\right)+2C{\frac {\partial \xi \partial \eta }{\partial y\partial y}};$

${\bar {C}}=A\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \eta \partial \eta }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2};$

${\bar {D}}=A{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+E{\frac {\partial \xi }{\partial y}};$

${\bar {E}}=A{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+E{\frac {\partial \eta }{\partial y}};$

${\bar {F}}=F\quad {\textrm {e}}\quad {\bar {G}}=G.$

A classificação da equação depende apenas dos coeficientes $A,B\ {\textrm {e}}\ C$ no ponto $(x,y)$; motivo esse de reescrevermos

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+Fu=G,$

como

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=H$

e

${\bar {A}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\bar {B}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+{\bar {C}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\bar {D}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\bar {E}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\bar {F}}u={\bar {G}},$

como

${\bar {A}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\bar {B}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+{\bar {C}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}={\bar {H}},$

onde $H\equiv H\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\quad {\textrm {e}}\quad {\bar {H}}\equiv {\bar {H}}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)$.

Exemplos

EDP do tipo hiperbólico

Classifique quanto ao tipo a seguinte equação diferencial:

$3{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+5{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{3}},\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Resolução:

Identificando os coeficientes desta equação temos:

$A=3,\ B=5\ {\textrm {e}}\ C=2$, portanto $\Delta =B^{2}-4AC=5^{2}-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1>0.$ Logo, a equação é do tipo hiperbólico.

EDP do tipo parabólico

Classifique quanto ao tipo a seguinte equação diferencial:

$\operatorname {sen} ^{2}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\operatorname {sen} (2x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+\cos ^{2}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Resolução:

Identificando os coeficientes desta equação temos:

$A=\operatorname {sen} ^{2}(x),\ B=\operatorname {sen} (2x)\ {\textrm {e}}\ C=\cos ^{2}(x)$ . Lembrando que $\operatorname {sen} (2x)=2\operatorname {sen} (x)\cos(x)$ temos que:

$\Delta =B^{2}-4AC=(2\operatorname {sen} (x)\cos(x))^{2}-4\cdot \operatorname {sen} ^{2}(x)\cdot \cos ^{2}(x)=4\operatorname {sen} ^{2}(x)\cos ^{2}(x)-4\operatorname {sen} ^{2}(x)\cos ^{2}(x)=0.$ Logo, a equação é do tipo parabólico.

EDP do tipo elíptico

Classifique quanto ao tipo a seguinte equação diferencial:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+4x^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\ {\textrm {com}}\ x\neq 0\ {\textrm {e}}\ u\equiv u(x,y)$.

Resolução:

Identificando os coeficientes desta equação temos:

$A=1,\ B=0\ {\textrm {e}}\ C=4x^{2}$, portanto $\Delta =B^{2}-4AC=-4\cdot 1\cdot 4x^{2}=-16x^{2}<0.$ Logo, a equação é do tipo elíptico.

EDP do tipo misto

Classifique quanto ao tipo a seguinte equação diferencial:

$y{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2x{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+y{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Resolução:

Identificando os coeficientes desta equação temos:

$A=y,\ B=2x\ {\textrm {e}}\ C=y$, portanto $\Delta =B^{2}-4AC=4x^{2}-4\cdot y\cdot y=4x^{2}-4y^{2}$ e como o discriminante depende de $x$ e $y$ essa equação é do tipo misto, pois:

• Se $\Delta =4x^{2}-4y^{2}<0,$ então a equação é do tipo elíptico.

• Se $\Delta =4x^{2}-4y^{2}=0,$ então a equação é do tipo parabólico.

• Se $\Delta =4x^{2}-4y^{2}>0,$ então a equação é do tipo hiperbólico.

Forma Canônica

Dizemos que uma equação diferencial parcial está na forma canônica quando ela está escrita na sua forma mais simples, por exemplo, sem os termos de derivadas mistas. A ideia básica está em classificar a equação diferencial parcial quanto ao tipo, determinar as equações características e pelo processo de integração simples encontrar as curvas características, onde as constantes de integração serão identificadas com as novas variáveis gerando as coordenadas características. Utilizando a regra da cadeia para derivadas parciais determinamos as derivadas para as novas variáveis e fazendo a substituição dessas na equação original obtemos, assim a forma canônica.

Abaixo, tem-se a descrição da obtenção da forma canônica para equações dos tipos hiperbólico, parabólico e elíptico.

Suponhamos que na equação $(1)$ as funções $A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$ não são nulas. Então podemos escolher novas variáveis $\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$ de modo que os coeficiente ${\bar {A}}\ {\textrm {e}}\ {\bar {B}}$ sejam nulos. Para isso devemos ter

${\bar {A}}=A\left({\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \xi \partial \xi }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \xi }{\partial y}}\right)^{2}\equiv 0;$

${\bar {C}}=A\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \eta \partial \eta }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\equiv 0$

Notamos que as duas equações tem a mesma forma. Então, discutiremos a equação

$A\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}+B{\frac {\partial \psi \partial \psi }{\partial x\partial y}}+C\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)^{2}=0,$

onde $\psi$ representa ora, $\xi ,$ ora $\eta$. Podemos ainda escrever a equação anterior na seguinte forma

$A\left({\frac {\partial \psi /\partial x}{\partial \psi /\partial y}}\right)^{2}+{\frac {\partial \psi /\partial x}{\partial \psi /\partial y}}+C=0.$

Ao longo de uma curva $\psi =\ {\textrm {constante}}$ no plano $(x,y)$ temos

$d\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy=0,$

de onde obtemos

${\frac {{\partial \psi }/{\partial x}}{\partial \psi /{\partial y}}}=-{\frac {dy}{dx}},$

com a qual nossa equação para $\psi$ toma a forma

$A\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-B\left({\frac {dy}{dx}}\right)+C=0$

As raízes desta equação de segundo grau são

${\frac {dy}{dx}}={\frac {B+{\sqrt {\Delta }}}{2A}}\quad \ {\textrm {e}}\ \quad {\frac {dy}{dx}}={\frac {B-{\sqrt {\Delta }}}{2A}},\quad {\textrm {onde}}\quad \Delta =B^{2}-4AC.$

As duas equações de primeira ordem são chamadas equações características e as respectivas integrais são chamadas curvas características. Visto que tais equações são de primeira ordem elas admitem uma constante de integração cada uma. Devemos notar ainda que se os coeficientes $A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$ são constantes as equações características levam a duas famílias de retas, e a equação é do mesmo tipo em todos os pontos de seu domínio, uma vez que $\Delta$ também será constante.

Equação do tipo hiperbólico

Se $\Delta >0$ temos duas famílias distintas de curvas características e a equação diferencial original se reduz a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=H_{1}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)$

onde $H_{1}={\bar {H}}/{\bar {B}},\ {\textrm {com}}\ {\bar {B}}\neq 0.$ Esta é a chamada primeira forma canônica da equação hiperbólica. Ao introduzirmos um segundo par de variáveis independentes

$\alpha =\xi +\eta ;\quad \beta =\xi -\eta$

obtemos a segunda forma canônica

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta ^{2}}}=H_{2}\left(\alpha ,\beta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \alpha }},{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)$

Exemplo

Reduza a forma canônica seguinte EDP

$3{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+5{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{3}},\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Solução:

Vamos proceder a resolução da seguinte forma

(i) classicação: Anteriormente vimos que essa EDP é do tipo hiperbólico com $A=3,\ B=5\ {\textrm {e}}\ C=2\ {\textrm {e}}\ \Delta =1.$

(ii) equações características: para determinar equações características utilizamos a expressão

${\frac {dy}{dx}}={\frac {B\pm {\sqrt {\Delta }}}{2A}}$ e então para o nosso caso temos que ${\frac {dy}{dx}}={\frac {5\pm {\sqrt {1}}}{2\cdot 3}}={\frac {5\pm 1}{6}}$ de onde chegamos a

${\frac {dy}{dx}}=1\ {\textrm {e}}\ \ {\frac {dy}{dx}}={\frac {2}{3}}$ que são as equações características procuradas.

(iii) curvas características: Integrando as expressões ${\frac {dy}{dx}}=1\ {\textrm {e}}\ \ {\frac {dy}{dx}}={\frac {2}{3}}$ temos que

${\frac {dy}{dx}}=1\Rightarrow dy=dx\Rightarrow \int dy=\int dx\Rightarrow y=x+c_{1}\quad {\textrm {e}}\$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {2}{3}}\Rightarrow 3dy=2dx\Rightarrow \int 3dy=\int 2dx\Rightarrow y={\frac {2x}{3}}+c_{2}.$

Logo as curvas (retas) características são dadas por

$y=x+c_{1}\quad {\textrm {e}}\quad y={\frac {2x}{3}}+c_{2}.$

(iv) coordenadas características: para fazer a mudança de coordenadas para as variáveis $\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$ , isolamos as constantes de integração $c_{1}\ {\textrm {e}}\ c_{2}$ na expressão acima, obtemos $c_{1}=y-x\ {\textrm {e}}\ c_{2}=y-{\frac {2x}{3}}$ e identificamos as constantes $c_{1}\ {\textrm {com}}\ \xi \ {\textrm {e}}\ \ c_{2}\ \ {\textrm {com}}\ \eta$ temos que as coordenadas características são $\xi =y-x\quad {\textrm {e}}\quad \eta =y-{\frac {2x}{3}}.$

(v) Derivadas para as novas variáveis:

Calculando os operadores das derivadas primeiras:

utilizando a regra da cadeia para derivadas temos que:

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial }{\partial \eta }};$

${\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\partial \xi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \eta }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}={\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}.$

Calculando os operadores das derivadas segundas:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {4}{3}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {4}{9}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \eta ^{2}}};$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \eta ^{2}}};$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {5}{3}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \eta ^{2}}}.$

(vi) forma canônica: Substituindo as derivadas na equação diferencial original temos:

$3\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {4}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {4}{9}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\right)+5\left(-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {5}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\right)+2\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\right)+\left(-{\frac {\partial u}{\partial \xi }}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)+\left({\frac {\partial u}{\partial \xi }}+{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)=-{\frac {1}{3}}$

$\Rightarrow 3{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}\ +\ 4{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}\ +\ {\frac {4}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\ -\ 5{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}\ -\ {\frac {25}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}\ -\ {\frac {10}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\ +\ 2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}\ +\ 4{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}\ +\ 2{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}\ -\ {\frac {\partial u}{\partial \xi }}\ -\ {\frac {2}{3}}{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\ +\ {\frac {\partial u}{\partial \xi }}\ +\ {\frac {\partial u}{\partial \eta }}=-{\frac {1}{3}}$

$\Rightarrow -{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial u}{\partial \eta }}=-{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}-{\frac {\partial }{\partial \eta }}=1,{\textrm {onde}}\ u\equiv u(\xi ,\eta )$ é a forma canônica para nossa equação.

Equação do tipo parabólico

Se o discriminante $\Delta =0$ as equações características são idênticas. Neste caso só existe uma família de curvas características, de onde obtemos somente uma curva integral $\xi ={\textrm {constante}}({\textrm {ou}}\ \eta ={\textrm {constante}})$. Logo a forma canônica para a equação do tipo parabólico e dada por.

 ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \eta ^{2}}}=H_{3}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)\ {\textrm {para}}\ {\bar {C}}\neq 0\ \ {\textrm {e}}\ \ \xi ={\textrm {constante}},$  

Ou

  ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}={\bar {H_{3}}}\left(\xi ,\eta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \xi }},{\frac {\partial u}{\partial \eta }}\right)\ {\textrm {para}}\ {\bar {A}}\neq 0\ \ {\textrm {e}}\ \ \eta ={\textrm {constante}}.$

Exemplo

Reduza a forma canônica seguinte EDP

$x^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2xy{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+y^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(x,y)$.

Solução:

Vamos proceder a resolução da seguinte forma

(i) classicação: identificando que $A=x^{2},\ B=2xy\ {\textrm {e}}\ C=y^{2}\ \ {\textrm {assim}},\ \ \Delta =4x^{2}y^{y}-4x^{2}y^{2}=0,$ portanto a equação é do tipo parabólico.

(ii) equação característica: para determinar equações características utilizamos a expressão

${\frac {dy}{dx}}={\frac {B\pm {\sqrt {\Delta }}}{2A}}\ \$ e então para o nosso caso temos que $\ \ {\frac {dy}{dx}}={\frac {2xy\pm {\sqrt {0}}}{2\cdot x^{2}}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}$ é a equação característica procurada.

(iii) curvas característica: para obter a curva característica vamos integrar expressão ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow {\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}\Rightarrow \int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x}}\Rightarrow \ln y=\ln x+\ln c\Rightarrow y=xc$ é a curva (reta) característica para nossa equação.

(iv) coordenadas características: isolando a constante de integração $c$ na expressão $y=xc$, obtemos $c={\frac {y}{x}},$ e para fazer a mudança de coordenadas para as variáveis $\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$ , identificamos a constante $c\ {\textrm {com}}\ \xi$ resultando em $\xi ={\frac {y}{x}}\ {\textrm {e}}\ \eta =y\ {\textrm {ou}}\ \ \eta =x$ que são as coordenadas características.

(v) Derivadas para as novas variáveis:

Consideremos para o nosso caso a seguintes coordenadas características $\xi ={\frac {y}{x}}\ {\textrm {e}}\ \eta =y$.

Calculando os operadores das derivadas primeiras:

utilizando a regra da cadeia para derivadas temos que

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}=-{\frac {y}{x^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \xi }};$

${\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\partial \xi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial \eta }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}={\frac {1}{x}}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}.$

Calculando os operadores das derivadas segundas:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {y^{2}}{x^{4}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}};$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \eta ^{2}}};$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}=-{\frac {y}{x^{3}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}.$

(vi) forma canônica: Substituindo as derivadas na equação diferencial original temos:

$x^{2}\left({\frac {y^{2}}{x^{4}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}\right)+2xy\left(-{\frac {y}{x^{3}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi \partial \eta }}\right)+y^{2}\left({\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \eta ^{2}}}\right)=0\Rightarrow$

${\frac {y^{2}}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}\ -\ {\frac {2y^{2}}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}\ -\ {\frac {2y^{2}}{x}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi \partial \eta }}\ +\ {\frac {y^{2}}{x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi ^{2}}}\ +\ {\frac {2y^{2}}{x}}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \xi \partial \eta }}\ +\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \eta ^{2}}}=0\Rightarrow$

$y^{2}{\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \eta ^{2}}}=0\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}u(\xi ,\eta )}{\partial \eta ^{2}}}=0\quad$ é a forma canônica para nossa equação.

Equação do tipo elíptico

Neste caso $\Delta <0,$ e as curvas características não são reais. Entretanto, se os coeficientes $A,\ B\ {\textrm {e}}\ C$ são funções analíticas podemos considerar a equação

$A\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-B\left({\frac {dy}{dx}}\right)+C=0,$

para os complexos $x\ {\textrm {e}}\ y$. Desde que $\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$ são complexos conjugados, podemos introduzir as variáveis reais

$\alpha ={\frac {\xi +\eta }{2}}\quad {\textrm {e}}\quad \beta ={\frac {\xi -\eta }{2i}},$

Depois de todas as transformações obtemos:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta ^{2}}}=H_{0}\left(\alpha ,\beta ,u,{\frac {\partial u}{\partial \alpha }},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \beta }}\right),\ {\textrm {com}}\ u\equiv u(\alpha ,\beta ),$

que é chamada forma canônica da equação elíptica.

Exemplo

Reduza a forma canônica seguinte EDP

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+4x^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\ {\textrm {com}}\ x\neq 0\ {\textrm {e}}\ u\equiv u(x,y)$.

Solução:

Vamos proceder a resolução da seguinte forma

(i) classicação: Anteriormente vimos que essa EDP é do tipo hiperbólico com $A=1,\ B=0\ {\textrm {e}}\ C=4x^{2}\ \ {\textrm {e}}\ \ \Delta =-16x^{2}.$

(ii) equações características: para determinar equações características utilizamos a expressão

${\frac {dy}{dx}}={\frac {B\pm {\sqrt {\Delta }}}{2A}}$ e então para o nosso caso temos que ${\frac {dy}{dx}}={\frac {0\pm {\sqrt {-16x^{2}}}}{2\cdot 1}}={\frac {\pm 4xi}{2}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=\pm 2xi$ então as equações características são dadas por ${\frac {dy}{dx}}=2xi\quad {\textrm {e}}\quad {\frac {dy}{dx}}=-2xi$.

(iii) curvas características: Integrando as expressões ${\frac {dy}{dx}}=2xi\ {\textrm {e}}\ {\frac {dy}{dx}}=-2xi$ temos que

${\frac {dy}{dx}}=2xi\Rightarrow dy=2xi\ dx\Rightarrow \int dy=\int 2xi\ dx\Rightarrow y=x^{2}i+c_{1}\quad {\textrm {e}}$

${\frac {dy}{dx}}=-2xi\Rightarrow dy=-2xi\ dx\Rightarrow \int dy=-\int 2xi\ dx\Rightarrow y=-x^{2}i+c_{2}.$

Logo as curvas características são dadas por

$y=x^{2}i+c_{1}\quad {\textrm {e}}\quad y=-x^{2}i+c_{2}.$

(iv) coordenadas características: para fazer a mudança de coordenadas para as variáveis $\xi \ {\textrm {e}}\ \eta$ , isolamos as constantes de integração $c_{1}\ {\textrm {e}}\ c_{2}$ na expressão acima, obtendo $c_{1}=y-x^{2}i\quad {\textrm {e}}\quad c_{2}=y+x^{2}i,$ e identificamos as constantes $c_{1}\ {\textrm {com}}\ \xi \ {\textrm {e}}\ c_{2}\ {\textrm {com}}\ \eta$ temos que as coordenadas características são $\xi =y-x^{2}i\quad {\textrm {e}}\quad \eta =y+x^{2}i$. Note que essas novas variáveis são complexos conjugados, portanto, vamos inserir as variáveis reais $\alpha \ {\textrm {e}}\ \beta$ dadas por $\alpha \ =\xi +\eta =2y\Leftrightarrow \alpha \ ={\frac {\xi +\eta }{2}}=y\quad {\textrm {e}}\quad \beta =\xi -\eta =-2x^{2}i\Leftrightarrow \beta ={\frac {\xi -\eta }{2i}}=-x^{2}.$

(v) Derivadas para as novas variáveis:

Calculando os operadores das derivadas primeiras:

utilizando a regra da cadeia para derivadas temos que:

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial \alpha }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \beta }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \beta }}=-2x{\frac {\partial }{\partial \beta }}\Leftrightarrow -2{\sqrt {-\beta }}{\frac {\partial }{\partial \beta }};$

${\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\partial \alpha }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \beta }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial \beta }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}.$

Calculando os operadores das derivadas segundas:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}=-4\beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-2{\frac {\partial }{\partial \beta }};$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}.$

(vi) forma canônica: Substituindo as derivadas na equação diferencial original temos:

$-4\beta {\frac {\partial ^{2}u(\alpha ,\beta )}{\partial \beta ^{2}}}-2{\frac {\partial u(\alpha ,\beta )}{\partial \beta }}-4\beta {\frac {\partial ^{2}u(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha ^{2}}}=0\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}u(\alpha ,\beta )}{\partial \beta ^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha ^{2}}}\ +\ {\frac {1}{2\beta }}{\frac {\partial u(\alpha ,\beta )}{\partial \beta }}=0\ {\textrm {e}}\ \beta \neq 0,$ é a forma canônica para nossa equação.

Referências Bibliográficas

• [[1]]Oliveira, Edmundo Capelas de; Mairino, José Emílio. Introdução aos Métodos da Matemática Aplicada. 3ª Edição revista - Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2010.

• [[2]]W. E. Boyce e R. C. Diprima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2010.