Usuário(a):RBiazzi/Modelo de FitzHugh–Nagumo

Trata-se do gráfico da evolução temporal da variável x. Estão presentes 4 ciclos completos e parte de um outro, em que a variável altera rapidamente por valores entre 2 e -2.
Gráfico da evolução temporal de com parâmetros , , e e condições iniciais e .

O modelo FitzHugh–Nagumo é um dos principais modelos de disparos neuronais, ou seja, um dos principais modelos matemáticos que descrevem o formato do potencial de ação gerado nos neurônios. O modelo em questão faz referência a Richard FitzHugh (1922 – 2007), que sugeriu a criação do sistema em 1961[1] e a J. Nagumo et al., que criou o circuito equivalente no ano seguinte,[2] descrevendo o protótipo de um sistema excitável, por exemplo, o de um neurônio.

O modelo pode ser visto como uma versão simplificada do modelo de Hodgkin-Huxley,[3] que por sua vez, faz uma modelagem mais detalhada da ativação e desativação dos canais iônicos envolvidos na geração de um disparo neuronal. Nos artigos originais de FitzHugh, esse modelo foi chamado de oscilador Bonhoeffer–van der Pol (em homenagem a Karl Friedrich Bonhoeffer e Balthasar van der Pol), por ser uma generalização do anteriormente descrito oscilador de Van der Pol,[4] sendo este um caso específico com os parâmetros .

Modelo

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O modelo de FitzHugh–Nagumo é um exemplo de sistema dinâmico excitatório-oscilatório com duas variáveis de estado. A principal delas,  , é a variável relacionada ao potencial de membrana, enquanto   é responsável pela acomodação e resistência do sistema. Quanto aos parâmetros envolvidos,   e   são constantes que determinam o percurso descrito pelo sistema no espaço de fase,   é uma constante adicionada por conveniência ainda no oscilador de Van der Pol e   pode ser compreendido como um estímulo externo injetado no neurônio. Sendo assim, com exceção de  , os parâmetros não possuem equivalência com algum fenômeno biológico e são escolhidos apenas para se obter o formato semelhante ao de um disparo neuronal em  .

O sistema de equações diferenciais ordinárias que rege esse modelo dinâmico é

 ,

em que   e   representam, respectivamente, as primeiras derivadas temporais das variáveis   e  .

Descrição

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Espaço de fase e nullclines do sistema com parâmetros  ,  ,   e   e condições iniciais   e  .

Para que o modelo apresente o comportamento esperado, os parâmetros devem obedecer às condições  ,   e  .

Nesse caso, a dinâmica do sistema pode ser descrita pelo zapping, uma alternância rápida, entre os ramos esquerdo e direito da nullcline cúbica referente à variável  . Além dessa, o sistema também apresenta uma nullcline linear referente à variável  . Ambas equações podem ser obtidas ao se igualar   e   a zero, resultando no par de equações

 ,

cuja intersecção dessas curvas é o ponto de equilíbrio do sistema.

Ver também

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Leituras adicionais

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  • FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257—278
  • FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1–85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw–Hill Book Co., N.Y.)

Ligações externas

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Referências

  1. FitzHugh, Richard (julho de 1961). «Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane». Biophysical Journal (6): 445–466. ISSN 0006-3495. doi:10.1016/s0006-3495(61)86902-6. Consultado em 28 de abril de 2023 
  2. Nagumo, J.; Arimoto, S.; Yoshizawa, S. (outubro de 1962). «An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon». Proceedings of the IRE (10): 2061–2070. ISSN 0096-8390. doi:10.1109/jrproc.1962.288235. Consultado em 28 de abril de 2023 
  3. Hodgkin, A. L.; Huxley, A. F. (1952). «A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve». The Journal of physiology (em inglês). 117 (4): 500-544. ISSN 0022-3751. doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004764. Consultado em 27 de abril de 2023 
  4. van der Pol, B (1926). «On "Relaxation-Oscillations"». Taylor & Francis. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 2 (11): 978-992. doi:10.1080/14786442608564127. Consultado em 27 de abril de 2023 

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