Variedade algébrica

objeto estudado em geometria algébrica

Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

DefiniçãoEditar

Se   um corpo algebricamente fechado,   o anel de polinômios em   com   variáveis, e   uma família de polinômios do anel. O subconjunto de   formado dos pontos que anulam todos os polinômios de   é uma variedade algébrica:

 

Variedades afinsEditar

 Ver artigo principal: Variedade afim

Dado o corpo algebricamente fechado   e um espaço afim   de dimensão   sobre   os polinômios do anel   são funções a valores em   definidas sobre  

Tomada uma família de polinômios   o conjunto dos pontos de   pelos quais as funções de   são todas nulas:

 

é dito conjunto algébrico afim. Se   não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

PropriedadesEditar

  • Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski).
  • Dado     é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre  

 
Se define anel da coordenadas   de   o anel quociente   O grau de transcendência do campo das frações de   sobre   é dito dimensão de  
  • Um conjunto algébrico afim   é uma variedade se e somente se   é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de   é um domínio de integridade.
  • Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetivaEditar

 Ver artigo principal: Variedade projetiva

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo   sobre o corpo   neste caso considera-se um conjunto   formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricasEditar

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas   e   é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

 

  e   são ditas isomorfas e se escreve  

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.

Variedades algébricas diferenciáveisEditar

(em italiano)

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