Álgebra de Kac-Moody

 Nota: Para a álgebra de Kac-Moody generalizada, veja Álgebra de Lie.

A álgebra de Kac-Moody, nomeada em honra de Victor Kac e Robert Moody, (também conhecida como álgebra de Kac-Moody Lie) é definida da seguinte forma.

Dado,

1) Uma n×n matriz generalizada de Cartan C = (c_ij) de classificação r.

2) Um vetor de espaço ${\mathfrak {h}}$ sobre os números complexos de dimensão 2n − r

3) Um conjunto de n elementos linearmente independentes $\alpha _{i}^{\vee }\$ de ${\mathfrak {h}}$e um conjunto de n elementos linearmente independentes $\alpha _{i}$ do espaço dual ${\mathfrak {h}}^{*}$, de tal modo que $\alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=c_{ji}$. Os $\alpha _{i}$ são analógicos para as raízes simples de uma semi-simples álgebra de Lie, e os $\alpha _{i}^{\vee }$ para as co-raízes simples.

A álgebra de Kac-Moody é a álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ definida por geradores $e_{i}$ e $f_{i}$ ($i\in \{1,\ldots ,n\}$) e os elementos de ${\mathfrak {h}}$e as relações.

• $[h,h']=0\$ para $h,h'\in {\mathfrak {h}}$;
• $[h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}$, para $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $[h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}$, para $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $[e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }$, onde $\delta _{ij}$ é o delta de Kronecker
• ${\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0$ e ${\textrm {ad}}(f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0$, onde ${\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\textrm {End}}({\mathfrak {g}}),{\textrm {ad}}(x)(y)=[x,y],$ é a representação adjunta de ${\mathfrak {g}}$.

A álgebra de Lie real (possivelmente de dimensão infinita) é também considerada uma álgebra de Kac-Moody, se a sua complexificação é uma álgebra de Kac-Moody.