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Cubo

objeto sólido tridimensional delimitado por seis faces quadradas
Cubo
Tipo Sólido platônico
Faces 6
Arestas 12
Vértices 8
Símbolo de Schläfli {4,3}
t{2,4} or {4}×{}
tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff 3
Símbolo de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetria Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície
Volume
Ângulo diédrico 90°
Poliedro dual Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação
Hexahedron flat color.svg
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de cubo, veja cubo (desambiguação).

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

  • cada face tem 4 arestas;
  • de cada vértice partem 3 arestas;
  • vale a relação de Euler: , onde representa o número de vértices, o número de arestas e o número de faces.[1]

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

  • faces poligonais regulares e congruentes;
  • ângulos poliédricos congruentes.[1]

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos () com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.[2]

Índice

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de EulerEditar

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

 

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

 

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

 
sendo   e  , tem-se:
 

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prismaEditar

Sendo   o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

  •   bases congruentes;
  •   faces laterais e   faces no total - as   faces laterais e as   bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
  •   arestas laterais e   arestas no total;
  •   vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.[1]

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

 

Logo, substituindo   por  , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

  •  
  •  
  •  .

Planificação do cuboEditar

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.[3][4] E são elas:

 
Planos do Cubo

Área total da superfície do cuboEditar

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo   é dada por   e supondo que cada aresta do cubo tenha medida  , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será  .

Logo a área total da superfície do cubo será  .[1]

Diagonal do cuboEditar

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta   e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

 
O segmento   representa a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

 

onde   representa a medida da aresta do cubo e   representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

 
 
 
 [1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

 

em que   representa a diagonal do cubo,   representa a aresta do cubo e   a diagonal de uma das faces. Substituindo   por  :

 
 
 
 
 
 [1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por  .

Volume do cuboEditar

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.[5] Assim,

 

onde   representa o volume,   a área da base e   a altura.

Como a base é um quadrado de lado   e a altura também vale   (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

 [5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta  , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

 

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esferaEditar

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando   para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

 [1]

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esferaEditar

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se   representa o raio da esfera circunscrita ao cubo,   representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

 [1]

Poliedro dual do cuboEditar

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.[6]

 
Octaedro

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta Editar

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta   do cubo. Fixando   para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

 
 
 
 
 
 [1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é  .

ExemplosEditar


Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. a b c d e f g h i Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual 
  2. Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba 
  3. http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
  4. http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
  5. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018 
  6. Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018 


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