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Cubo

objeto sólido tridimensional delimitado por seis faces quadradas
Cubo
Tipo Sólido platônico
Faces 6
Arestas 12
Vértices 8
Símbolo de Schläfli {4,3}
t{2,4} or {4}×{}
tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff 3
Símbolo de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetria Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície
Volume
Ângulo diédrico 90°
Poliedro dual Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação
Hexahedron flat color.svg
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de cubo, veja cubo (desambiguação).

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

  • cada face tem 4 arestas;
  • de cada vértice partem 3 arestas;
  • vale a relação de Euler: , onde representa o número de vértices, o número de arestas e o número de faces.[1]

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

  • faces poligonais regulares e congruentes;
  • ângulos poliédricos congruentes.[1]

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos () com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.[2]

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de EulerEditar

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

 

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

 

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

 
sendo   e  , tem-se:
 

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prismaEditar

Sendo   o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

  •   bases congruentes;
  •   faces laterais e   faces no total - as   faces laterais e as   bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
  •   arestas laterais e   arestas no total;
  •   vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.[1]

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

 

Logo, substituindo   por  , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

  •  
  •  
  •  .

Planificação do cuboEditar

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.[3][4] E são elas:

 
Planos do Cubo

Área total da superfície do cuboEditar

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo   é dada por   e supondo que cada aresta do cubo tenha medida  , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será  .

Logo a área total da superfície do cubo será  .[1]

Diagonal do cuboEditar

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta   e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

 
O segmento   representa a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

 

onde   representa a medida da aresta do cubo e   representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

 
 
 
 [1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

 

em que   representa a diagonal do cubo,   representa a aresta do cubo e   a diagonal de uma das faces. Substituindo   por  :

 
 
 
 
 
 [1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por  .

Volume do cuboEditar

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.[5] Assim,

 

onde   representa o volume,   a área da base e   a altura.

Como a base é um quadrado de lado   e a altura também vale   (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

 [5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta  , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

 

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esferaEditar

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando   para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

 [1]

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esferaEditar

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se   representa o raio da esfera circunscrita ao cubo,   representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

 [1]

Poliedro dual do cuboEditar

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.[6]

 
Octaedro

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta Editar

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta   do cubo. Fixando   para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

 
 
 
 
 
 [1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é  .

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.

Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:
O número de arestas é igual em todas as faces;Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces.

ExemplosEditar


Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. a b c d e f g h i Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual 
  2. Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba 
  3. http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
  4. http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
  5. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018 
  6. Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018 


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