Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria elementar dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A rigor, o uso de topologia não desempenha um papel central na demonstração. Na verdade, a topologia tem na demonstração de Fürstenberg mais um papel de linguagem do que de ferramenta indispensável. A prova[1] foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly quando Fürstenberg ainda era um estudante de graduação na Universidade Yeshiva.

A demonstração de FürstenbergEditar

Dados inteiros  , em que  , defina  . Podemos chamar um conjunto da forma   de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos   é uma progressão aritmética de termo inicial   e razão igual a  ; e a ordenação dos elementos   uma progressão aritmética de termo inicial também   e razão, porém, igual a  .

Considere a coleção  X : X é um CA ou uma união de CAs  de subconjuntos de  . Tal coleção é uma topologia sobre   (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

  • Por definição, o conjunto vazio   é aberto; e o espaço inteiro   também, já que  ;
  • União arbitrária de elementos de   é ainda um elemento de  ;
  • A interseção de dois elementos de   pertence ainda a  : dados   e  , sejam   e   inteiros tais que   e  ; e seja   o mínimo múltiplo comum de   e  . Então, como   e  ,  .

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

  1. Se   é finito, então   e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
  2. Os abertos básicos   são também conjuntos fechados, pois é possível escrever   como o complementar de um conjunto aberto:
 

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

 

Pela primeira propriedade, o conjunto   não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos   são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que   é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Estudos complementares sobre a topologia de FürstenbergEditar

O espaço topológico proposto por Fürstenberg foi estudado por vários autores. Lovas e Mező,[2] por exemplo, forneceram diversas métricas que geram a topologia de Fürstenberg. E mais ainda: encontraram também o completamento métrico de Z por meio de uma dessas métricas.

ReferênciasEditar

  1. Fürstenberg, Harry (1955). «On the infinitude of primes» (PDF). Amer. Math. Monthly. 62. 353 páginas. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2307043 
  2. Lovas, R.; Mező, I. (2015). «Some observations on the Furstenberg topological space». Elemente der Mathematik. 70: 103–116 

Ligações externasEditar