Desigualdade de Minkowski

Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em Lp .

Seja um espaço normado, e e elementos de . Então é um elemento de , e temos a Desigualdade de Minkowski:

A igualdade irá acontecer somente no caso de e serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em .

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma :

onde são números reais (ou números complexos) e é a cardinalidade de .

DemonstraçãoEditar

Dado  , tome   tal que  .

Por definição temos que

 

Pela desigualdade triangular podemos afirmar que

 

Pela Desigualdade de Hölder temos que

 

Mas, por definição da norma,

 

uma vez que   e  .

Daí concluímos que

 

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por  .

 . .

ReferênciasEditar

  • G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)