Trabalhamos em três dimensões, com definições semelhantes fixando em qualquer outro número de dimensões. Em três dimensões, uma forma do tipo
A
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
B
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
C
(
x
,
y
,
z
)
d
z
{\displaystyle A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz}
é chamada de forma diferencial .[ 6] Esta forma é chamada exata em um domínio
D
⊂
R
3
{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}
no espaço se existe alguma função escalar
Q
=
Q
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle Q=Q(x,y,z)}
definida em
D
{\displaystyle D}
de tal forma que
d
Q
≡
(
∂
Q
∂
x
)
y
,
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
y
)
z
,
x
d
y
+
(
∂
Q
∂
z
)
x
,
y
d
z
,
{\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}dz,}
d
Q
=
A
d
x
+
B
d
y
+
C
d
z
{\displaystyle dQ=Adx+Bdy+Cdz}
em todo
D
{\displaystyle D}
.[ 7] Isto é equivalente a dizer que o campo vetorial
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle (A,B,C)}
é um campo vetorial conservativo , com correspondente potencial
Q
{\displaystyle Q}
.[ 8] [ 9]
Relações diferenciais parciais
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Se três variáveis,
x
{\displaystyle {\displaystyle x}}
,
y
{\displaystyle {\displaystyle y}}
e
z
{\displaystyle {\displaystyle z}}
estão ligadas pela condição
F
(
x
,
y
,
z
)
=
constant
{\displaystyle {\displaystyle F(x,y,z)={\text{constant}}}}
para alguma função diferencial
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\displaystyle F(x,y,z)}}
, então existem os seguintes diferenciais totais [ 10] :
d
x
=
(
∂
x
∂
y
)
z
d
y
+
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
{\displaystyle {\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}}
d
z
=
(
∂
z
∂
x
)
y
d
x
+
(
∂
z
∂
y
)
x
d
y
.
{\displaystyle {\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}}
Substituindo a primeira equação pela segunda e reordenando, obtemos:
d
z
=
(
∂
z
∂
x
)
y
[
(
∂
x
∂
y
)
z
d
y
+
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
]
+
(
∂
z
∂
y
)
x
d
y
,
{\displaystyle {\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}}
d
z
=
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
+
(
∂
z
∂
y
)
x
]
d
y
+
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
d
z
,
{\displaystyle {\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}}
[
1
−
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
]
d
z
=
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
+
(
∂
z
∂
y
)
x
]
d
y
.
{\displaystyle {\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}}
Como
y
{\displaystyle {\displaystyle y}}
e
z
{\displaystyle {\displaystyle z}}
são variáveis independentes,
d
y
{\displaystyle {\displaystyle dy}}
e
d
z
{\displaystyle {\displaystyle dz}}
podem ser escolhidos sem restrições. Para que esta última equação se mantenha em geral, os termos entre parênteses devem ser iguais a zero.
Relação de reciprocidade
editar
Estabelecendo o primeiro termo entre parênteses igual a zero:
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
z
)
y
=
1.
{\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}}
Um leve rearranjo dá uma relação de reciprocidade:
(
∂
z
∂
x
)
y
=
1
(
∂
x
∂
z
)
y
.
{\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}}
Há mais duas permutações da derivação anterior que dão um total de três relações de reciprocidade entre o estilo x, y e z. As relações de reciprocidade mostram que o inverso de uma derivada parcial é igual a sua recíproca.
A relação cíclica também é conhecida como a regra cíclica ou a regra do produto triplo . Definindo o segundo termo entre parênteses igual a zero rendimentos:
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
=
−
(
∂
z
∂
y
)
x
.
{\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}}
O uso de uma relação de reciprocidade para o estilo de jogo z parcial y parcial frac nesta equação e reordenação dá uma relação cíclica (a regra do produto triplo ):
(
∂
x
∂
y
)
z
(
∂
y
∂
z
)
x
(
∂
z
∂
x
)
y
=
−
1.
{\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}}
Se, em vez disso, for utilizada uma relação de reciprocidade para
∂
x
∂
y
{\displaystyle {\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}}
com posterior rearranjo, é obtido um formulário padrão para diferenciação implícita :
(
∂
y
∂
x
)
z
=
−
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
z
∂
y
)
x
.
{\displaystyle {\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}}
Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões
editar
(Veja também as equações termodinâmicas de Bridgman para o uso de diferenciais exatos na teoria das equações termodinâmicas)
Suponha que tenhamos cinco funções de estado
z
,
x
,
y
,
u
{\displaystyle {\displaystyle z,x,y,u}}
e
v
{\displaystyle {\displaystyle v}}
. Suponha que o espaço de estados seja bidimensional e que qualquer uma das cinco quantidades seja exatamente diferencial. Então, pela regra da cadeia
(
1
)
d
z
=
(
∂
z
∂
x
)
y
d
x
+
(
∂
z
∂
y
)
x
d
y
=
(
∂
z
∂
u
)
v
d
u
+
(
∂
z
∂
v
)
u
d
v
{\displaystyle {\displaystyle (1)~~~~~dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}}
mas também pela regra da cadeia:
(
2
)
d
x
=
(
∂
x
∂
u
)
v
d
u
+
(
∂
x
∂
v
)
u
d
v
{\displaystyle {\displaystyle (2)~~~~~dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}}
e
(
3
)
d
y
=
(
∂
y
∂
u
)
v
d
u
+
(
∂
y
∂
v
)
u
d
v
{\displaystyle {\displaystyle (3)~~~~~dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}}
para que:
(
4
)
d
z
=
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
u
)
v
+
(
∂
z
∂
y
)
x
(
∂
y
∂
u
)
v
]
d
u
{\displaystyle {\displaystyle (4)~~~~~dz=\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du}}
+
[
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
v
)
u
+
(
∂
z
∂
y
)
x
(
∂
y
∂
v
)
u
]
d
v
{\displaystyle {\displaystyle +\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv}}
o que implica que:
(
5
)
(
∂
z
∂
u
)
v
=
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
u
)
v
+
(
∂
z
∂
y
)
x
(
∂
y
∂
u
)
v
{\displaystyle {\displaystyle (5)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}}
Tomando
v
=
y
{\displaystyle {\displaystyle v=y}}
temos:
(
6
)
(
∂
z
∂
u
)
y
=
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
u
)
y
{\displaystyle {\displaystyle (6)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}}
Tomando
u
=
y
{\displaystyle {\displaystyle u=y}}
temos:
(
7
)
(
∂
z
∂
y
)
v
=
(
∂
z
∂
y
)
x
+
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
v
{\displaystyle {\displaystyle (7)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}}}
Tomando
u
=
y
,
v
=
z
{\displaystyle {\displaystyle u=y},{\displaystyle v=z}}
temos:
(
8
)
(
∂
z
∂
y
)
x
=
−
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
{\displaystyle {\displaystyle (8)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}}
usando
(
∂
a
/
∂
b
)
c
=
1
/
(
∂
b
/
∂
a
)
c
{\displaystyle ({\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}}
dá a regra do produto triplo :
(
9
)
(
∂
z
∂
x
)
y
(
∂
x
∂
y
)
z
(
∂
y
∂
z
)
x
=
−
1
{\displaystyle {\displaystyle (9)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}}
Referências
↑ OS CONCEITOS DE INFINITESIMAL E DIFERENCIAL NAS REGRAS DE DERIVAÇÃO DE LEIBNIZ por Raquel Anna Sapunaru, Bárbara Emanuella Souza, Débora Pelli, Douglas Frederico Guimarães Santiago publicado pela REVISTA DE ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA (REnCiMa), v.4, n.2, p. 1-15, 2013 em 7/8/2013 [[1] ]
↑ Diferenciais inexatas e o fator integrante por A C Tort em 2 de outubro de 2012 http://www.if.ufrj.br/~pef/aulas_seminarios/notas_de_aula/tort_2012_2/EqsDifparte3.pdf
↑ Exact Differential publicado em MathWorld [[2] ]
↑ Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado . Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3 .
↑ Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos . Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.
↑ PARTE III. Formas Diferenciais - 13. Formas Diferenciais e Campos Tensoriais por
Rui Loja Fernandes no Outono 2003 publicado pelo Instituto Superior Técnico de Lisboa
↑ Weistein, Eric W. , http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html Differential form no MathWorld
↑ Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 85-244-0049-8
↑ Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0750306065
↑ Çengel, Yunus A. (1998). Thermodynamics : an engineering approach 3rd ed ed. Boston: McGraw Hill. OCLC 37246426